«

»

মে 21

পরিসংখ্যান পরিচিতি – লেকচার ১১ – কতিপয় জটিল ঘটনার সম্ভাবনা- Probability of Complex Events

[নিবন্ধনের লিংক] [কোর্সের মূল পাতা]

কতিপয় জটিল ঘটনার সম্ভাবনা (Probability of Complex Events)

এনায়েতুর রহীম

শুরু করা যাক একটি উদাহরণ দিয়ে।

ধরুন আপনি পাবলিক বাসে চলাচল করেন। আপনার দীর্ঘদিনের অভিজ্ঞতার আলোকে আপনি দেখেছেন বাসে উঠলে পকেট মার হওয়ার সম্ভাবনা ৭০ এর মধ্যে দুই বার অর্থাৎ ১/৩৫ বা ২.৮৭%।

ক) ধরা যাক এই সম্ভাবনা বাসে যাতায়াতকারী সবার জন্য একই; তাহলে যাত্রাস্থল থেকে গন্তব্য পৌঁছে আবার যাত্রাস্থলে ফিরে আসার মধ্যে (অর্থাৎ দুইবার ভ্রমণ করলে) দুই বারই পকেট মার হওয়ার সম্ভাবনা কত?

খ) আপনার এক বন্ধু বাজী ধরে বলছে পকেট মার হওয়ার সম্ভাবনা ৭০ বার যাত্রায় ২ বার হলে ৫০ বার বাসে যাতায়াত করলে পকেটমার হওয়ার সম্ভাবনা ১০০%. বন্ধুটি কি ঠিক বলেছে? কেন?

উত্তর

ক) ০.০০০৮১৬ অর্থাৎ দুইবার ভ্রমণ করলে পকেট মার হওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম।

খ) বন্ধুটি ভুল বলেছে। ৫০বার ভ্রমণ করলে পকেট মার হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় ৭৭%

আপনার উত্তর যদি সঠিক হয়ে থাকে তাহলে এই পর্ব আপনার না পড়লেও চলবে। আর যদি সঠিক না হয়ে থাকে তাহলে আসুন দেখি কিভাবে এরকম ঘটনার সম্ভাবনা  বের করা যায়। সেই সাথে সম্ভাবনা গণনা করার আরো কিছু নিয়ম আমরা শিখবো।

লেকচার ৮-এ আমি সম্ভাবনা এবং সেট নিয়ে আলোচনা করেছিলাম। সম্ভাবনা গণনা করার জন্য সেটের ভালো ধারণা থাকতে হয়। সম্ভব হলে লেকচারটি রিভিউ করে নিন।

যুক্ত সম্ভাবনা (Joint Probability)

দুটি ঘটনা একসাথে ঘটবে এমন ঘটনা দুটিকে আমরা বলবো যুক্ত ঘটনা  (Joint events). যুক্ত ঘটনার সম্ভাবনাকে আমরা বলবো যুক্ত সম্ভাবনা।

যুক্ত সম্ভাবনা বের করার আগে আমাদের নির্ভরশীল এবং অনির্ভরশীল ঘটনা সম্পর্কে জানা প্রয়োজন। আসুন উদাহরণের মাধ্যমে আমরা সেটা জানার চেষ্টা করি।

নির্ভরশীল ঘটনা (Dependent Events)

ধরা যাক আপনি ঢাকা শহরে বাস করেন। অফিস থেকে ফেরার পথে রাস্তায় জ্যামে আটকা পড়ে আপনার অনেক সময় নষ্ট হয়। অতীতের অভিজ্ঞতায় আপনি দেখেছেন রাস্তার জ্যাম হিসেবে নিয়ে বিকাল ৫টায় অফিস থেকে বের হলে ৭টা নাগাদ বাসায় পোঁছা যায়। এই আলোকে আপনি জানেন যে সময় মতো অর্থাৎ৭টার মধ্যে বাসায় পৌঁছার সম্ভাবনা প্রায় ৯০%।

ধরুন আজ আপনাকে যেকোন ভাবেই সন্ধ্যা ৭টার মধ্যে বাসায় পৌঁছুতে হবে। কিন্তু বিধি বাম। রাস্তায় গাড়ি আজ নড়ছেনা। কারণ একজন ভিআইপি  যাবেন সেই রাস্তা দিয়ে, তাই রাস্তা আটকে রাখা হয়েছে। তাহলে বলুন দেখি এই পরিস্থিতিতে সন্ধ্যা ৭টার মধ্যে আপনার বাসায় পৌঁছার সম্ভাবনা কত? সম্ভাবনা কি ৯০% থাকবে নাকি পরিবর্তিত হবে?

বুঝতেই পারছেন সম্ভাবনা পরিবর্তিত হবে কারণ আজ রাস্তা দিয়ে ভিআইপি যাচ্ছেন।

তাহলে দেখতে পাচ্ছি আজ সময়মতো বাসায় পৌঁছানোর ঘটনাটি একই পথ দিয়ে একজন ভিআইপি যাওয়ার ঘটনার উপর নির্ভর করছে। কোন ঘটনা অপর একটি ঘটনা দ্বারা প্রভাবিত হলে বা অপর একটি ঘটনার উপর নির্ভর করলে ঘটনাদুটিকে আমরা নির্ভরশীল ঘটনা বলি। নির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনা বের করতে গেলে আমাদের বাড়তি কিছু তথ্য দরকার হয়। উপরের উদাহরণে এই বাড়তি তথ্যটুকু হল আপনার যাত্রাপথে ভিআইপির উপস্থিতি এবং তার সম্ভাবনা।

নির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনাকে আমরা বলি শর্তাধীন সম্ভাবনা (Conditional Probability). দুটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে একটি ঘটনার সম্ভাবনা বের করার সময় অপর ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনাকে বিবেচনায় আনতে হয়। অর্থাৎ একটি ঘটনার সম্ভাবনা বের করবো এই শর্তে যে অপর ঘটনাটি সম্পর্কে আমরা ওয়াকিবহাল।

অনির্ভরশীল ঘটনা (Independent Events)

দুটি ঘটনা যদি পরস্পরের উপর নির্ভরশীল না হয় তবে তারা অনির্ভরশীল (Independent). উদাহরণস্বরূপ বলা যায় কোন একটি ম্যাচে বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের জয়ের সম্ভাবনা ঐ খেলায় বাংলাদেশের দুজন কী-প্লেয়ার খেলছে কিনা তার উপর নির্ভরশীল। যদি কী-প্লেয়াররা না খেলে তাহলে জয়ের সম্ভাবনা কমে যাবে। তাহলে ম্যাচে জয় পাওয়া আর কী-প্লেয়ারেরা খেলছে কি খেলছে না –এই ঘটনা দুটি নির্ভরশীল ঘটনা।

অন্যদিকে বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের ম্যাচে জয়লাভ করার সাথে আপনার পকেট মার হওয়ার সম্ভাবনার কোন সম্পর্ক থাকার কথা নয়। অনেকেই হয়তো যুক্তির খাতিরে যুক্তি দেখাবেন। কিন্তু এই দুটি ঘটনাকে আমরা অনির্ভরশীল ঘটনা বলবো।

উপরের উদাহরণ দুটির মাধ্যমে আশা করি নির্ভরশীল এবং অনির্ভরশীল ঘটনা সম্পর্কে বুঝতে পেরেছেন। এবারে আমরা নির্ভরশীল ও অনির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনা বের করা শিখবো।

অনির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনা বের করা

আসুন দুটি ছক্কা টস করি। প্রতিটি ছক্কাতে ১ থেকে ৬ পর্যন্ত সংখ্যা আছে; এর যেকোনটি উঠতে পারে। আমরা জানি ১ ওঠার সম্ভাবনা ১/৬. এবার ধরুন আমরা আরেকটি ছক্কা টস করবো। অর্থাৎ আমরা দুটো ছক্কা টস করবো এবং জানতে চাইবো দুটো ছক্কাতেই ১ ওঠার সম্ভাবনা কত?

এর উত্তর আমরা গতপর্বে যা শিখেছি তার আলোকে দিতে পারবো। আমরা জানি দুটি ছক্কা টস করলে গুননের নিয়মে ৬ গুনন ৬ = ৩৬ টি ফলাফল আসতে পারে। যার মধ্যে দুটি ছক্কাতেই ১ আসবে এমন ঘটনা একভাবে ঘটতে পারে। তাহলে দুটো ছক্কাতেই ১ আসার সম্ভাবনা = ১/৩৬।

ভালোভাবে বোঝার জন্য আমরা নিচের সারণি তৈরী করি।

ছক্কা-২

ছক্কা-১

(১,১)

(১,২)

(১,৩)

(১,৪)

(১,৫)

(১,৬)

(২,১)

(২,২)

(২,৩)

(২,৪)

(২,৫)

(২,৬)

(৩,১)

(৩,২)

(৩,৩)

(৩,৪)

(৩,৫)

(৩,৬)

(৪,১)

(৪,২)

(৪,৩)

(৪,৪)

(৪,৫)

(৪,৬)

(৫,১)

(৫,২)

(৫,৩)

(৫,৪)

(৫,৫)

(৫,৬)

(৬,১)

(৬,২)

(৬,৩)

(৬,৪)

(৬,৫)

(৬,৬)

 

উপরের সারণিতে ছক্কা-১ (প্রথম টস) এর সম্ভাব্য ফলগুলো সারিতে এবং ছক্কা-২ (দ্বিতীয় টস) এর সম্ভাব্য ফলগুলো কলামে সাজানো হয়েছে। সারণির মাঝের সংখ্যাগুলো এই পরীক্ষণের যতগুলো ফলাফল সম্ভব সেগুলোকে (ছক্কা-১, ছক্কা-২) ভাবে নির্দেশ করা হচ্ছে। এখানে (৪,৬) মানে হলো প্রথম ছক্কাতে ৪ উঠেছে আর দ্বিতীয় ছক্কাতে ৬ উঠেছে।

সারণি থেকে আমরা দেখছি প্রথম ছক্কাতে ১ এবং দ্বিতীয় ছক্কাতে ১ উঠতে পারে কেবল এক ভাবে—(১,১), যার সম্ভাবনা ১/৩৬।

এই উদাহরণটি যুক্ত সম্ভাবনার উদাহরণ। এখানে আমরা জানতে চাইছি প্রথম টসে ১ উঠবে এবং দ্বিতীয় টসে ১ উঠবে। অর্থাৎ দুটো ঘটনা একসাথে ঘটবে তার সম্ভাবনা। ঘটনা দুটোকে আমরা এভাবে লিখি—

ঘটনা ১ : প্রথম টসে ১ উঠেছে
ঘটনা ২ : দ্বিতীয় টসে ১ উঠেছে

লক্ষ্যণীয় যে, ঘটনা দুটি একে অপরের উপর নির্ভরশীল নয়। দ্বিতীয় টসে কী উঠবে সেটা প্রথম টসে কী উঠেছে তার সাথে সম্পর্কযুক্ত নয়। অর্থাৎ ঘটনা দুটি অনির্ভরশীল। এরকম অনির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনা বের করতে গুননের নিয়ম প্রয়োগ করা যায়। অর্থাৎ একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে আরেকটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা দিয়ে গুন করলে দুটি ঘটনা একসাথে ঘটার সম্ভাবনা পাওয়া যায়।

তাহলে দুটো টসেই ১ ওঠার সম্ভাবনা

= (প্রথম টসে ১ উঠবে) গুনন (দ্বিতীয় টসে ১ উঠবে)

= (১/৬)  গুনন (১/৬)

= ১/৩৬

এভাবে যদি তিনটি ছক্কা আমরা টস করি তাহলে তিনটি টসেই ১ ওঠার সম্ভাবনা = (১/৬)(১/৬)(১/৬) = ১/২১৬

খুবই সহজ!

নির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনা বের করা

বাস্তব জীবনের প্রায় প্রতিটি ঘটনাই একে অপরের সাথে কোন-না-কোন-ভাবে নির্ভরশীল। এখন আমরা সহজ কিছু উদাহরণের মাধ্যমে নির্ভরশীল ঘটনার সম্ভাবনা বের করা শিখবো।

আবারো ছক্কা টস করার উদাহরণটি চিন্তা করি। এই উদাহরণটি যদিও বাস্তবসম্মত নয়,এটা দিয়ে ব্যাপারটা বুঝতে সহজ হবে।

ধরুন আপনার বন্ধু ছক্কাটি টস করেছে এবং আপনাকে বলতে হবে ছক্কায় ২ ওঠার সম্ভাবনা কত। আপনি জানেন ছক্কাতে ৬টি পিঠ আছে এবং এর প্রত্যেকটি সম-সম্ভাব্য। সে হিসেবে ২ আসার সম্ভাবনা ১/৬.

ধরুন আপনার বন্ধু আপনাকে বাড়তি কিছু তথ্য দিল যে সংখ্যাটি একটি জোড় সংখ্যা। এখন বলতে হবে ২ ওঠার সম্ভাবনা কত। এই যে বাড়তি তথ্যটুকু আপনি জানলেন এর ফলে ২ আসার সম্ভাবনা পরিবর্তিত হয়ে যাবে। এখানে বাড়তি তথ্যটুকুকে ব্যবহার করে আপনি যে সম্ভাবনা গণনা করবেন সেটিই শর্তাধীন সম্ভাবনা। দেখা যাক এই বাড়তি তথ্যের উপস্থিতিতে ২ আসার সম্ভাবনা আমরা কিভাবে বের করবো।

ছক্কা ছুঁড়ে মারলে তার নমুনা ক্ষেত্রের উপাদান গুলো হলো: {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}

তাহলে ২ আসার সম্ভাবনা = ১/৬

আপনার কাছে বাড়তি তথ্য আছে যে সংখ্যাটি একটি জোড় সংখ্যা। এ অবস্থায় নমুনা ক্ষেত্রের উপাদানগুলো হলো: {২, ৪, ৬,}. তাহলে ২ আসার সম্ভাবনা = ১/৩

তাহলে আমরা দেখলাম বাড়তি তথ্যটুকুর কারণে সম্ভাবনা ১/৬ থেকে বেড়ে ১/৩ হয়ে গেল। এবারে আমরা এরকম শর্তাধীন সম্ভাবনা কিভাবে সকল পরিস্থিতির জন্য বের করা যায় তার সূত্র শিখবো।

যুক্ত সম্ভাবনা ও শর্তাধীন সম্ভাবনার গাণিতিক সূত্র

আমাদের দুটি ঘটনাকে যদি A ও B দ্বারা প্রকাশ করি এবং ঘটনা দুটি যদি অনির্ভরশীল হয় তাহলে

A ও B এর যুক্ত সম্ভাবনা = P(A and B) = P(A) P(B)

আর যদি ঘটনা দুটি নির্ভরশীল হয় তাহলে

A ও B এর শর্তাধীন সম্ভাবনা = P(A | B) = P(A and B) / P(B)  = ঘটনা দুটির যুক্ত সম্ভাবনা / বাড়তি তথ্যটুকুর সম্ভাবনা

এখানে P(A | B) কে পড়া হয় A এর সম্ভাবনা কত যখন B সম্পর্কে তথ্য আছে। অন্যভাবে বলা যায় A এর সম্ভাবনা  কত যখন B আগেই ঘটেছে। উপরের উদাহরণের সাথে মিলিয়ে লিখলে এরকম হবে:

A: ছক্কা টস করলে ২ উঠবে

B: সংখ্যাটি একটি জোড় সংখ্যা

এখানে বাড়তি তথ্য আছে যে এটি একটি জোড় সংখ্যা। ফলে শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র ব্যবহার করতে হবে। ২ ওঠার সম্ভাবনা ১/৬ এবং ২ ও জোড় সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনাও ১/৬. আর জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা ৩/৬ = ১/২. তাহলে ২ আসার সম্ভাবনা যখন আমরা জানি যে সংখ্যাটি জোড়

= ২ এবং জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা / জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা

= (১/৬) / (১/২)

= ২/৬

= ১/৩

ব্যবহারিক উদাহরণ

ধরা যাক নিচের সারণিটি শিক্ষক ডট কমে সকল শিক্ষার্থীদের প্রতিনিধিত্বমূলক। এই কোর্সের শুরুতে শিক্ষার্থীদের কাছ থেকে উপাত্ত সংগ্রহ করে এই সারণিটি তৈরী করা হয়েছিল। সংগ্রীহিত সংখ্যাগুলোকে তুলনামূলক ঘটনসংখ্যায় প্রকাশ করা হয়েছে। লক্ষ্যণীয় যে সারি ও কলামের যোগফল ১ বা ১০০%।

 

যতটি কোর্সে অংশ নিচ্ছেন

লিঙ্গ

মোট
পুরুষমহিলা
১টি.২৪.০০.২৪
২টি.১৫.০৩.১৮
৩টি.০৫.০২.০৭
৪টি.১০.০০.১০
একটিও না.৩৪.০৭.৪১
মোট.৮৮.১২১.০

 

এরকম একটি সারণি যদি আগে থেকে জানা থাকে তাহলে আমরা শিক্ষক ডট কমে যারা ভিজিট করেন তাদের সম্পর্কে সম্ভাবনার কিছু প্রশ্ন ও তার উত্তর দিতে পারবো। ধরা যাক শিক্ষক ডট কম ভিজিট করেন এমন একজনকে দৈব চয়নের মাধ্যমে বেছে নেয়া হলো। নিচের প্রশ্ন ও তার উত্তরগুলো দেখুন।

১) বেছে নেয়া শিক্ষার্থীটি ২টি কোর্সে অংশ নিচ্ছে তার সম্ভাবনা .১৮ বা ১৮%

২) শিক্ষার্থীটি মহিলা তার সম্ভাবনা .১২ বা ১২%

৩) শিক্ষার্থীটি মহিলা এবং ২টি কোর্সে অংশ নিচ্ছে তার সম্ভাবনা .০৩ (যুক্ত সম্ভাবনা। সারণি থেকে বের করতে হলে সূত্র দরকার হবে না)

৪) যদি জানা থাকে যে শিক্ষার্থীটি ২টি কোর্সে অংশ নিচ্ছে তাহলে শিক্ষার্থীটি মহিলা তার সম্ভাবনা কত? (শর্তাধীন সম্ভাবনা বের করতে হবে)

উত্তর :

সম্ভাবনা

= (শিক্ষার্থী মহিলা যখন আমরা জানি যে শিক্ষার্থীটি ২টি কোর্স নিচ্ছে)

= (শিক্ষার্থী মহিলা এবং ২টি কোর্স নিচ্ছে) / (শিক্ষার্থী ২টি কোর্সে অংশ নিচ্ছে)

= (.০৩) / (.১৮)

= .১৬৬৭ বা প্রায় ১৭%

৫) যদি নির্বাচিত শিক্ষার্থী পুরুষ হন তাহলে তার ৩টি কোর্স নেয়ার সম্ভাবনা কত?

উত্তর:

= ৩টি কোর্সে নেয়ার সম্ভাবনা যখন জানা আছে যে শিক্ষার্থী একজন পুরুষ

= (৩টি কোর্স নিচ্ছে এবং পুরুষ) / (শিক্ষার্থী একজন পুরুষ)

= .০৫/.৮৮

.০৫৮ বা প্রায় ৬%

নিজে করি

এবার লেকচারের শুরুতে পকেট মার সম্পর্কিত যে উদাহরণ দিয়েছি তার উত্তরগুলো কিভাবে পেলাম তা বের করার চেষ্টা করুন। উত্তর দিব ২৫ মে, ২০১৩ তারিখে। এবারে আসুন কুইজ-২ এ অংশ নিয়ে যাচাই করে নিন এ পর্বে কতটা শিখতে পারলেন।

 

কুইজ ২

ইন্টারনেট আসক্তি এক ধরনের রোগ। যারা এই রোগে আক্রান্ত তারা সাধারণত অধিক সময় ইন্টারেনেট কাটায়, ডিপ্রেশন ও সিদ্ধান্তহীনতায় ভোগে এবং অনেকটা সামাজিকভাবে নিজেকে বিচ্ছিন্ন করে ফেলে। নিচের সারণিতে উঠতি বয়সের  ১০০০ জনের উপর পরিচালিত জরিপের ফলাফল দেয়া হলো (কাল্পনিক উপাত্ত), সূত্র: Statistics: Learning From Data (Preliminary Edition) by Roxy Peck, Brooks/Cole, 2014

 

 

ইন্টারনেটে আসক্ত (A)

ইন্টারনেটে আসক্ত নয় (G)

মোট
মহিলা (F)৬৭৪৫১৫১৮
পুরুষ (M)১২০৩৬২৪৮২
মোট১৮৮৮১২১০০০

 

ধরা যাক এই জনগোষ্ঠি থেকে একজনকে দৈব চয়নের মাধ্যমে বেছে নেয়া হল। এবারে  নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিন

শিক্ষক.কম পরিসংখ্যান পরিচিতি- কুইজ ২: জটিল ঘটনার সম্ভাবনা গণনা

আপনার নাম এবং ইমেইল ঠিকানা ঠিকঠাক মতো দিন। ইমেইল ঠিকানা ঠিক মতো দিলে কুইজের ফলাফল এবং ভুল উত্তরের ব্যাখ্যা পৌঁছে যাবে আপনার ঠিকানায়।
* Required
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    This is a required question
    Never submit passwords through Google Forms.

 

আগের লেকচার-এর লিংক

ভূমিকা

লেকচার ১ – উপাত্ত সংগ্রহ

লেকচার ২ – গবেষণা পদ্ধতি ও চলক সম্পর্কে ধারণা

লেকচার ৩ – ড্যাটা সামারি বা উপাত্ত সারাংশ (কোয়ালিটেটিভ ভ্যারিয়েবল)

লেকচার ৪ – হিস্টোগ্রাম ও ড্যাটার শেইপ

লেকচার ৫ – কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও তার পরিমাপসমূহ

লেকচার ৬ – ভেদ ও এর পরিমাপসমূহ 

লেকচার ৭ – তুলনামূলক অবস্থান ও z-score

লেকচার ৮ – সম্ভাবনার খুঁটি 

লেকচার ৯ – গণনার পদ্ধতিসমূহ

লেকচার ১০ – সম্ভাবনা

কোর্সের সূচনা পাতা

Comments

comments

About the author

এনায়েতুর রহীম

পরিসংখ্যান নিয়ে আছি প্রায় দুই দশক -- এখনো শিখছি--পড়ে এবং পড়ানোর মাধ্যমে। ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ফলিত পরিসংখ্যানে ব্যাচেলরস, মাস্টার্স। গবেষণা মূলত গাণিতিক পরিসংখ্যান নিয়ে। বিশেষভাবে কাজ করি রিগ্রেশন মডেলে Shrinkage and Absolute Penalty Estimation নিয়ে। আরো কাজ করি পরিসংখ্যান বিষয়ক সফটওয়্যার, মন্টি কারলো, রিস্যাম্পলিং, জনস্বাস্থ্য ও এপিডেমিওলজি, এবং পরিবেশ বিষয়ক পরিসংখ্যানে। কর্মজীবন শুরু ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে শিক্ষকতার মাধ্যমে। বর্তমানে ইউনিভার্সিটি অব নর্দার্ন কলোরাডো তে ফলিত পরিসংখ্যানের সহকারী অধ্যাপক হিসেবে কর্মরত। ব্যক্তিগত সাইট

Leave a Reply