Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /homepages/19/d650279470/htdocs/app653499953/wp-includes/post-template.php on line 284

Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /homepages/19/d650279470/htdocs/app653499953/wp-includes/post-template.php on line 284

Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /homepages/19/d650279470/htdocs/app653499953/wp-includes/post-template.php on line 284

Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /homepages/19/d650279470/htdocs/app653499953/wp-includes/post-template.php on line 284

«

»

ফেব্রু. 23

পরিসংখ্যান পরিচিতি – লেকচার ৮ – সম্ভাবনার খুঁটি – Foundation of Probability

[নিবন্ধনের লিংক] [কোর্সের মূল পাতা]

সম্ভাবনার খুঁটি (Foundation of Probability)

এনায়েতুর রহীম

আজ আমরা শুরু করবো সম্ভবনার খুঁটি নিয়ে। সম্ভাবনার খুঁটি–এরকম অদ্ভুত নাম দিলাম বলে অবাক হচ্ছেন? আসলেই আজ আমরা খুঁটি নিয়ে আলোচনা করবো। খুঁটি বা খাম্বা এমন একটি জিনিস যা কোন কিছুকে তুলে ধরতে সহায়তা করে। যেমন– ঘরের খুঁটি ঘরের চালা ধরে রাখে; ফলে আমরা ঘরে নিরাপদে ঘুমাতে পারি। আবার খুঁটির জোরে অনেকে অন্যায় কাজ করেও পার পেয়ে যায়। আবার শক্ত খুঁটি অর্থাৎ মামা না থাকলে চাকুরীর বাজারে পাত্তা পাওয়া অনেক সময় কঠিন হয় বলে শোনা যায়।

খুঁটি নিয়ে বিশদ আলোচনা করবো, তবে তার আগে দেখি সম্ভাবনা বলতে আমরা কী বোঝাতে চাই।

এরকম একটা কথা প্রায়ই আমরা শুনে থাকি: ছেলেটি বেশ সম্ভাবনাময়। এখানে একটি সম্ভfবনার কথা বলা হচ্ছে। এখানে সম্ভাবনা বলতে Prospect বোঝানো হচ্ছে। আমরা এরকম সম্ভfবনা নিয়ে আলোচনা করবো না। আমরা আলোচনা করবো কোন কিছু ‘ঘটবে কি ঘটবে না’, পরীক্ষায় পাশ হবে কি হবে না, আজ সন্ধ্যায় বৃষ্টি হলে কাল সকালে বৃষ্টি হবে কি হবে না, ক্রীড়া উন্নয়ন তহবিলের লটারীর টিকিট কিনলে আপনি প্রথম পুরস্কারটি পাবেন কি পাবেন না—এ ধরনের সম্ভাবনা নিয়ে।

আচ্ছা কয়েকটা উদাহরণের কথা চিন্তা করা যাক:

১) শাহবাগের আন্দোলন আরো ১০ দিন ধরে চলবে—তার সম্ভাবনা কত?

২) কেমোথেরাপি দেয়ার পর (কোন একটি স্থানের) ক্যান্সারে আক্রান্ত রোগীর সুস্থ হয়ে ওঠার সম্ভাবনা কত?

৩) একটি ছক্কা ছুঁড়ে মারলে ৩ ওঠার সম্ভাবনা কত? কিংবা

৪) একটি কয়েন টস করলে হেড ওঠার সম্ভবনা কত? একই কয়েন ১০ বার টস করলে ৫বার হেড আসার সম্ভাবনা কত? কিংবা একই কয়েন ১০০০ বার টস করলে ৪৯৫ থেকে ৫০৫ বার হেড আসার সম্ভবনা কত?

উপরের উদাহরণগুলোতে আমরা সম্ভাবনার কথা জানতে চেয়েছি। প্রতিটি ক্ষেত্রেই আমরা সম্ভাবনার কথা বলেছি। আমরা হয়তো বুঝতে পারছি সম্ভাবনা বলতে আমরা কী বোঝাতে চাইছি কিন্তু এর সঠিক সংজ্ঞা দেয়া সহজ নয়। তবে উদাহরণগুলো থেকে আমরা সম্ভাবনার একটা সংজ্ঞা দাঁড় করানোর চেষ্টা করতে পারি।

সম্ভাবনা কী?

সম্ভাবনা একটি ধারণা। এই ধারনার মাধ্যমে কোন কিছু ঘটবে কি ঘটবে না তা গাণিতিক ভাবে (সংখ্যা বা অংকের মাধ্যমে) প্রকাশ করা হয়। যে অংক বা সংখ্যাটি দিয়ে আমরা সেই জিনিসটি ‘ঘটবে কি ঘটবে না’ প্রকাশ করি সেই সংখ্যাটিই সম্ভাবনা।

যেমন, একটি কয়েন টস করলে হেড উঠবে কি উঠবে না তা আমরা একটা সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করি। আমরা সবাই জানি যে হেড ওঠার সম্ভবনা ৫০%. কিন্তু কীভাবে তা জানি? এটি বোঝার চেষ্টা করবো আগামী লেকচারে। তবে তার আগে সম্ভাবনার খুঁটি সম্পর্কে জানতে হবে। সম্ভাবনার খুঁটি হল এমন কিছু যা দিয়ে আমরা সম্ভাবনাকে গাণিতিকভাবে জানতে ও বুঝতে পারবো। এই খুঁটি সম্পর্কে ভালো জানা থাকলেই আমরা সম্ভাবনাকে আবছা আবছা নয়—ভালোমতো বুঝতে পারবো।

সম্ভাবনার খুঁটি দেখতে কেমন?

সম্ভাবনার খুঁটি দেখতে বাক্সের উপরিতলের মতো। অনেকটা টেবিলের উপরটা যেমন চারকোনা, মসৃণ—সেরকম। বিশ্বাস হচ্ছে না? অসুবিধা নাই। একটু পরেই নিজের চোখে দেখতে পাবেন।

তার আগে একটা প্রশ্নের উত্তর দিন। পরীক্ষা বা এক্সপেরিমেন্ট (experiment) কী? পরীক্ষা হলো এমন একটি প্রক্রিয়া যা করার পর কিছু ফলাফল পাওয়া যায়, তাই না? যেমন ধরুন, আপনি কেমিস্ট্রি ল্যাবে গিয়ে একটি পরীক্ষা চালাবেন। এটি যেমন একটি পরীক্ষা তেমনি একটি পরীক্ষা হলো ঢাকা স্টক মার্কেটে কোন্ শেয়ার কিনলে লাভবান হবেন সেটি। উদাহরণটি কঠিন হয়ে গেল, তাই না? তাহলে আসুন সহজ একটি উদাহরণ নেয়া যাক।

ছক্কা মারার পরীক্ষা

আমরা ছক্কা মারার একটা পরীক্ষা করবো। ক্রিকেট খেলার ছক্কা নয়, লুডু খেলার ছক্কা। ছক্কাতে ১ থেকে ৬ পর্যন্ত নাম্বার আছে। ছক্কাটিকে যদি ছুঁড়ে দেন তো কোন্ সংখ্যাগুলো উঠতে পারে? ১, ২, ৩, ৪, ৫ অথবা ৬ এর যেকোনটি। এই যে ছক্কা ছুঁড়লেন –এটি একটি পরীক্ষা। আর এই পরীক্ষার ফলগুলো হলো ১ থেকে ৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলি যার কোন একটি উঠতে পারে।

স্যাম্পল স্পেইস (Sample Space)

পরিসংখ্যানে ভাষায় কোন পরীক্ষার সবগুলো সম্ভাব্য ফলাফলের যে তালিকা তাকে স্যাম্পল স্পেইস (Sample space) বলে। ছক্কা মারার পরীক্ষার স্যাম্পল স্পেইস হচ্ছে একটা তালিকা যেটিকে আমরা লিখি এভাবে–

S = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}

এই তালিকাটিকে যদি আমরা চিত্রের মাধ্যমে দেখাই তাহলে এটা দেখতে এরকম হবে।

টেবিলের উপর ছক্কার মারার পরীক্ষার সম্ভাব্য সবগুলো ফল গুলো সাজানো হলো।

চিত্র: টেবিলের উপর ছক্কার মারার পরীক্ষার সম্ভাব্য সবগুলো ফল গুলো সাজানো হলো।

অর্থাৎ টেবিলের উপরিতলের মত একটি জায়গা যেখানে কোন একটি পরীক্ষার সবগুলো সম্ভাব্য ফলকে একত্রে রাখা যায় তাকেই স্যাম্পল স্পেইস বলে। এই স্যাম্পল স্পেইসই হলো সম্ভবনার খুঁটি। স্যাম্পল স্পেইস কোন পরীক্ষার সবগুলো ফলের একটি সংগ্রহ বা সেট। এরকম একটি সংগ্রহ (set) কে ভেন চিত্রের (Venn diagram) মাধ্যমে দেখানো হয়। লক্ষ্য করেছেন হয়তো, স্যাম্পল স্পেইসকে ইংরেজী বর্ণমালার বড় হাতের S দিয়ে নির্দেশ করা হয়। তাহলে ছক্কা মারার পরীক্ষার স্যাম্পল স্পেইসের ভেন চিত্রটি আমরা দেখে নেই।

ছক্কা মারার পরীক্ষার স্যাম্পল স্পেইসের ভেন চিত্র।

চিত্র: ছক্কা মারার পরীক্ষার স্যাম্পল স্পেইসের ভেন চিত্র।

ইভেন্ট (Event)

ইভেন্ট  কি তা তো বুঝি। ইভেন্ট বলতে আপনি যা বোঝেন পরিসংখ্যানের ইভেন্ট অনেকটা সেরকমই। এখানে ইভেন্ট হল কতগুলো ফলাফলের একটা সেট। যেমন ছক্কার মারার পরীক্ষার ক্ষেত্রে একটি ইভেন্ট হলো “জোড় সংখ্যা”—ছক্কা ছুঁড়ে মারলে একটা জোড় সংখ্যা উঠবে—এটি একটি ইভেন্ট। আবার ৩ এর বেশী বড় সংখ্যা উঠবে সেটি আরেকটি ইভেন্ট।

ইভেন্টযেভাবে প্রকাশ করা হয়
জোড় সংখ্যাক = {২, ৪, ৬}
৩ এর চেয়ে বড়খ = {৪, ৫, ৬}
স্যাম্পল স্পেসস = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}

হ্যাঁ স্যাম্পল স্পেইসও একটি ইভেন্ট।

সিম্পল ইভেন্ট (Simple Event)

সিম্পল ইভেন্ট হলো কোন পরীক্ষার সবচেয়ে ছোট ইভেন্ট। অন্যভাবে বলা যায়, কোন পরীক্ষার একটি ফল (single outcome) যদি চিন্তা করা হয় তাহলে সেটি সিম্পল ইভেন্ট। যেমন, উপরের পরীক্ষায় ১ একটি সিম্পল ইভেন্ট, ২ একটি সিম্পল ইভেন্ট। তাহলে দেখা যাচ্ছে ছক্কা মারার পরীক্ষায় মোট ছয়টি সিম্পল ইভেন্ট আছে। অন্যভাবে বলা যায় সিম্পল ইভেন্ট হলো স্যাম্পল স্পেইসের একক। সবগুলো সিম্পল ইভেন্ট একত্রে স্যাম্পল স্পেইস গঠন করে।

যুক্ত ইভেন্ট (Joint Event / Intersection of Events)

দুটি ইভেন্টের ইন্টারসেকশন হল সেই সিম্পল ইভেন্টগুলো যারা দুটি ইভেন্টের প্রত্যেকটিতেই আছে। ধরা যাক ছক্কার মারার পরীক্ষার দুটি ইভেন্ট এরকম –

ক: {জোড় সংখ্যাগুলো} = {২, ৪, ৬}

খ: {৩ এর চেয়ে বড় সংখ্যাগুলো } = {৪, ৫, ৬}

তাহলে ক এবং খ ইভেন্ট দুটির ইন্টারসেকশন হল সেই ইভেন্টগুলো যারা ক এবং খ উভয়তেই আছে। সেগুলো  হলো {৪, ৬}.  গণিতের ভাষায় এটাকে লেখা হয়

ক এবং খ = {৪, ৬}

ক ও খ ইভেন্ট দুটির ইন্টারসেকশনের ভেন চিত্র।

চিত্র: ক ও খ ইভেন্ট দুটির ইন্টারসেকশনের ভেন চিত্র।

 

“এবং” দিয়ে ইন্টারসেকশন বোঝানো হয়। “ক এবং খ” এর অন্য আরেকটি মানে হলো ইভেন্ট দুটি একসাথে ঘটবে। অর্থাৎ এই নতুন ইভেন্টটিতে তারা থাকবে যারা ক ও খ উভয়ের ইভেন্টের মধ্যেই আছে। কমন অংশটি ইন্টারসেকশন।

ইভেন্টের ইউনিয়ন (Union of Events)

যুক্ত ইভেন্টে শুধু কমন অংশ গুলো থাকে। দুটি ইভেন্টের ইউনিয়ন  হলো ইভেন্টদুটিতে যেসব সিম্পল ইভেন্ট আছে সেগুলোর সবগুলো নিয়ে একটা  নতুন ইভেন্ট। লক্ষ্য রাখতে হবে যেন কোন সিম্পল ইভেন্ট দুইবার না আসে। উপরের ক ও খ ইভেন্ট দুটির ইউনিয়ন নিয়ে যে নতুন ইভেন্টটি পাই তার উপাদানগুলো হল {২, ৪, ৫, ৬}.  এটিকে গণিতের পরিভাষায় এভাবে লেখা হয়—

ক অথবা খ = {২, ৪, ৫, ৬}

ক ও খ ইভেন্ট দুটির ইউনিয়নের ভেন চিত্র।

চিত্র: ক ও খ ইভেন্ট দুটির ইউনিয়নের ভেন চিত্র।

 

“ক অথবা খ” লেখা হলেই আমরা ইউনিয়ন বুঝবো। এটিকে অনেক সময় বলা হয় “ক অথবা খ অথবা উভয়”. তাহলে ইউনিয়ন হলো সেই সিম্পল ইভেন্টগুলোর তালিকা যারা ক-তে আছে অথবা খ-তে আছে অথবা উভয়েই আছে।

ইউনিয়নের ব্যাখ্যা থেকে আমরা এটাও বলতে পারি যে সবগুলো সিম্পল ইভেন্টের ইউনয়ন হল স্যাম্পল স্পেইস—যা কোন পরীক্ষার সবগুলো ফল (Outcome) –এর একটি তালিকা।

 

ইভেন্টের কমপ্লিমেন্ট (Complement of an event)

স্যাম্পল স্পেইসের সাথে তুলনায় কোন ইভেন্টের কমপ্লিমেন্ট হল সেই ইভেন্ট যার উপাদানগুলো ঐ ইভেন্টের অংশ নয়। যেমন, ছক্কা মারার পরীক্ষায় ক = {২, ৪, ৬} একটি ইভেন্ট। এই ইভেন্টের কমপ্লিমেন্ট হলো সেই উপাদানগুলো যা ক ইভেন্টে নেই: {১, ৩, ৫}. কমপ্লিমেন্ট ইভেন্টকে ক এর bar চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়। নিচের চিত্রে দেখুন।

কমপ্লিমেন্ট ইভেন্টের ভেন চিত্র।

চিত্র: কমপ্লিমেন্ট ইভেন্টের ভেন চিত্র।

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট (Mutually Exclusive Events)

দুটি ইভেন্ট মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ যদি ইভেন্ট দুটির ইন্টারসেকশনে কোন সিম্পল ইভেন্ট না থাকে। অর্থাৎদুটি ইভেন্টের মধ্যে কোন কমন উপাদান নেই।

ধরা যাক ছক্কা মারার পরীক্ষার দুটি ইভেন্ট এরকম–

ত: {২, ৪, ৬}

থ: {১ বা তার চেয়ে ছোট}

তাহলে “ত এবং থ” অর্থাৎ ত ইন্টারসেকশন থ হবে ফাঁকা, কারণ এই দুটি ইভেন্টের কোন কমন উপাদান নেই। এরকম ইভেন্টকে আমরা নিচের মতো করে লিখি।

ত এবং থ = { }

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্টের ভেন চিত্র।

চিত্র: মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্টের ভেন চিত্র।

 

ইভেন্ট অপারেশনগুলোর তুলনামূলক চিত্র:

ইভেন্ট অপারেশনের তুলনামূলক চিত্র

ইভেন্ট অপারেশনের তুলনামূলক চিত্র

শেষ কথা

আজ আমরা স্যাম্পল স্পেইস (যাকে আমরা সম্ভাবনার খুঁটি বলেছি) এবং সেই সাথে বেশ কয়েক ধরনের ইভেন্টের অপারেশন সম্পর্কে জানলাম। এগুলো কয়েকবার পড়ে ভাল করে রপ্ত করতে হবে। সম্ভাবনা ক্যালকুলেট করার জন্য এই ধারনা গুলোর দরকার হবে।

 

আগের লেকচার-এর লিংক

ভূমিকা

লেকচার ১ – উপাত্ত সংগ্রহ

লেকচার ২ – গবেষণা পদ্ধতি ও চলক সম্পর্কে ধারণা

লেকচার ৩ – ড্যাটা সামারি বা উপাত্ত সারাংশ (কোয়ালিটেটিভ ভ্যারিয়েবল)

লেকচার ৪ – হিস্টোগ্রাম ও ড্যাটার শেইপ

লেকচার ৫ – কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও তার পরিমাপসমূহ

লেকচার ৬ – ভেদ ও এর পরিমাপসমূহ 

পরিসংখ্যান পরিচিতি – লেকচার ৭ – তুলনামূলক অবস্থান ও z-score

কোর্সের সূচনা পাতা

Comments

comments

About the author

এনায়েতুর রহীম

পরিসংখ্যান নিয়ে আছি প্রায় দুই দশক -- এখনো শিখছি--পড়ে এবং পড়ানোর মাধ্যমে। ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ফলিত পরিসংখ্যানে ব্যাচেলরস, মাস্টার্স। গবেষণা মূলত গাণিতিক পরিসংখ্যান নিয়ে। বিশেষভাবে কাজ করি রিগ্রেশন মডেলে Shrinkage and Absolute Penalty Estimation নিয়ে। আরো কাজ করি পরিসংখ্যান বিষয়ক সফটওয়্যার, মন্টি কারলো, রিস্যাম্পলিং, জনস্বাস্থ্য ও এপিডেমিওলজি, এবং পরিবেশ বিষয়ক পরিসংখ্যানে। কর্মজীবন শুরু ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে শিক্ষকতার মাধ্যমে। বর্তমানে ইউনিভার্সিটি অব নর্দার্ন কলোরাডো তে ফলিত পরিসংখ্যানের সহকারী অধ্যাপক হিসেবে কর্মরত। ব্যক্তিগত সাইট

1 ping

  1. পরিসংখ্যান পরিচিতি – লেকচার ১১ – কতিপয় জটিল ঘটনার সম্ভাবনা- Probability of Complex Events

    […] ৮-এ আমি সম্ভাবনা এবং সেট নিয়ে আলোচনা করেছিলাম। সম্ভাবনা […]