Print 
PDFএই পর্বটি অনেক বড়। সময় নিয়ে ধৈর্য সহকারে পড়তে হবে। নাহলে অনেক কিছুই বোঝা যাবে না। ইংরেজী শব্দগুলোর বাংলা খুব একটা ভালো করতে পেরেছি বলে দাবী করছি না। কোন অসঙ্গতি থাকলে অনুগ্রহ করে মন্তব্যে জানিয়ে দিন। টেকনিক্যাল কোন ত্রুটি থাকলে সেটিও জানাতে সংকোচ করবেন না। ধন্যবাদ।
পরিসংখ্যানে স্যামপ্লিং ডিস্ট্রিবিউশন বা নমুনা নিবেশন এর গুরুত্ব অপরিসীম। বলা যায় এ যাবত আমরা যা আলোচনা করেছি তা তাত্তিক, আর নমুনা নিবেশন হলো এর ব্যবহারিক পর্ব।
নমুনা নিবেশন নিয়ে আলোচনা শুরু করার আগে আমরা নরমাল বিন্যাসের আরো একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার সম্পর্কে আলোকপাত করব। গর্ত পর্বে (লেকচার ১৫) আমরা নরমাল বিন্যাস নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছিলাম। নরমাল বিন্যাস একটি প্রতিসম বা symmetric বিন্যাস যা দেখতে স্তুপাকার। এই বিন্যাসের গড় থাকে বিন্যাসটির একেবারে কেন্দ্রে এবং বিন্যাসটির আকার নির্ধারিত হয় এর পরিমিত ব্যবধান (standard deviation) এর মানের উপর।
নরমাল বিন্যাস-এর একটি বিশেষ পর্যায় হল স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস। এটি এমন একটি নরমাল বিন্যাস যার গড় শুন্য এবং পরিমিত ব্যবধান ১. এই বিন্যাসের গুরুত্ব এত বেশী কারণ বাস্তব জীবনে কোন চলককে যদি আমরা দেখাতে পারি যে এটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে তাহলে সম্ভাবনা গণনা করা অনেকখানি সহজ হয়ে যায়। মজার ব্যাপার হল বাস্তব জীবনের অনেক চলককেই আমরা এরকম একটি বিন্যাস দিয়ে ব্যাখ্যা করতে পারি।
ধরা যাক কোন একটি চলক স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে। তাহলে আমরা গণনা করে দেখাতে পারবো যে চলকটির মান -১ থেকে +১ এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা প্রায় ৬৮%; -২ থেকে +২ এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা প্রায় ৯৫%, এবং -৩ থেকে +৩ এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা প্রায় ৯৯%.
নিচের সারণি এবং চিত্র থেকে আমরা এটি বুঝতে পারবো।
Z চলকটির মান | যেভাবে গণনা করবেন | সম্ভাবনা | |
এক্সেল ২০১০ | R | ||
| P(-1 < Z < 1) =P(Z < 1) – P(Z < -1) | =NORM.S.DIST(1,1)- NORM.S.DIST(-1,1) | pnorm(1) – pnorm(-1) | .6827 |
| P(-2 < Z < 2)=P(Z < 2) – P(Z < -2) | =NORM.S.DIST(2,1)- NORM.S.DIST(-2,1) | pnorm(2) – pnorm(-2) | .9545 |
| P(-3 < Z < 3)=P(Z < 3) – P(Z < -3) | =NORM.S.DIST(3,1)- NORM.S.DIST(-3,1) | pnorm(3) – pnorm(-3) | .9973 |
নমুনা নিবেশন (Sampling Distribution)
নমুনা নিবেশন কী সেটা জানার আগে এটি কখন দরকার হয় সেটি আগে উদাহরণের মাধ্যমে বোঝার চেষ্টা করা যাক।
উদাহরণ ১:
গত পর্বে আমরা এরকম একটি প্রশ্ন রেখেছিলাম– নির্বাচনের আগে প্রধান দুই রাজনৈতিক দল নানা সংস্থাকে দিয়ে জরিপ পরিচালনা করে থাকে। একটি দল জরিপ করে জেনেছে তাদের পক্ষে ৪৫% জনসমর্থন আছে।
ক) জনগোষ্ঠীতে এই সংখ্যা প্রকৃতপক্ষে ৪২-৪৮% এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা কত?
খ) জনসমর্থন আসলে ৪০% এর কম তার সম্ভাবনা কত?
গ) জনসমর্থন প্রকৃতপক্ষে ৫০%এর বেশী তার সম্ভাবনা কত?
উদাহরণ ২:
ধরা যাক আপনি জানতে চাইছেন বাংলাদেশের মানুষের গড় বয়স কত। এর উত্তর পেতে আপনার সামনে তিনটি পথ খোলা আছে—(১) বাংলাদেশের সব মানুষের কাছে গিয়ে তাদের বয়স জিজ্ঞেস করা, এবং তারপর গড় বের করা, (২) আন্দাজে গড় বয়স বলে দেয়া, (৩) গ্রহনযোগ্য নমুনা সংগ্রহ করে সেই নমুনা থেকে গড় বয়স বের করে তা থেকে পুরো জনগোষ্ঠির গড় বয়সের একটা গ্রহণযোগ্য মান প্রাককলন (estimate) করা।
ধরা যাক আপনি দৈব চয়ন করে ৫০ জন মানুষকে বাছাই করে তাদের উচ্চতার গড় বের করলেন যা ৫ ফুট ২ ইঞ্চি বা ৬২ ইঞ্চি। প্রশ্ন হলো প্রকৃত জনগোষ্ঠিতে মানুষের গড় উচ্চতা ৫৮ ইঞ্চি থেকে ৬৬ ইঞ্চির মধ্যে তার সম্ভাবনা কত? ধরা যাক জনগোষ্ঠিতে উচ্চতার পরিমিত ব্যবধান আমাদের জানা আছে, এবং সেটি ১০ ইঞ্চি।
এরকম নানা প্রশ্নের উত্তর দেয়ার জন্য আমাদের জানতে হবে (উদাহরণ ২ এ) নমুনা গড় (sample mean) এবং (উদাহরণ ১ এ) নমুনা-অনুপাত (sampling proportion)-এর সম্ভাবনা বিন্যাস। এখানে গড় এবং অনুপাত বের করা হচ্ছে সংগ্রীহিত নমুনা থেকে। এজন্য এদের সম্ভাবনা বিন্যাসকে নমুনা নিবেশন বা sampling distribution বলে।
নমুনা গড়ের নমুনা নিবেশন (Sampling distribution of sample mean)
পরিসংখ্যানে একটি গুরুত্বপূর্ণ থিওরেম আছে যাকে আমরা বলি কেন্দ্রীয় সীমা থিওরেম (Central limit theorem). এই থিওরেম অনুসারে কোন জনগোষ্ঠির সম্ভাবনা বিন্যাস না জানা থাকলেও (কিংবা জনগোষ্ঠির বিন্যাস যা-ই হোক না কেন) যদি তার গড় এবং পরিমিত ব্যবধান (কিংবা ভেদাংক) জানা থাকে তাহলে সেই জনগোষ্ঠি থেকে যদি বড় একটি নমুনা নেয়া যায়, সেই নমুনা থেকে যে গড় বের করা হবে তার সম্ভাবনা বিন্যাস প্রায় নরমাল হবে। এরকম বিন্যাসের গড় হবে জনগোষ্ঠীর গড়ের সমান এবং পরিমিত ব্যবধান জনগোষ্ঠির পরিমিত ব্যবধানকে নমুনার সংখ্যার বর্গমূল দিয়ে ভাগ দিলে যত হবে তত।
নমুনা গড়ের নমুনা নিবেশন– ব্যাপারটি ঠিক বোঝা গেল না, তাই না?
আচ্ছা ঠিক আছে দেখা যাক অন্যভাবে বোঝাতে পারি কি না।
আমরা জানি হিস্টোগ্রাম কিভাবে আঁকা হয়। হিস্টোগ্রাম আঁকতে আমাদের কিছু ড্যাটা পয়েন্ট দরকার, তাই না? আমরা যদি জনগোষ্ঠি থেকে n = 50 সাইজের অনেকগুলো আলাদা আলাদা নমুনা সংগ্রহ করি তাহলে প্রত্যেকটি নমুনা থেকে আমরা একটি করে নমুনা গড় বের করতে পারবো, তাই না? তো এভাবে যদি আমরা ১০০ বার নমুনা সংগ্রহ করে ১০০ বার নমুনা গড় (sample mean) পরিমাপ করি তাহলে আমরা ১০০ টি নমুনা গড় পাব। তাহলে এই ১০০ টি নমুনা গড় দিয়ে যদি আমরা হিস্টোগ্রাম আঁকি সেটা নরমাল বিন্যাসের মতো দেখাবে। সেটিই হবে নমুনা গড়ের নমুনা নিবেশন বা sampling distribution of sample mean. এই বিন্যাসের প্রাককলিত গড় হবে প্রকৃত জনগোষ্ঠির গড়ের সমান এবং পরিমিত ব্যবধান হবে প্রকৃত জনগোষ্ঠির পরিমিত ব্যবধানকে ১০০ এর বর্গমূল অর্থাৎ ১০ দিয়ে ভাগ দিলে যা হবে তার সমান। অর্থাৎ নমুনা নিবেশনের পরিমিত ব্যবধান এই ক্ষেত্রে জনগোষ্ঠির পরিমিত ব্যবধানের ১০ ভাগের এক ভাগ মাত্র (নির্ভর করবে নমুনার সংখ্যার উপর).
নিচের চিত্রে নমুনা গড়ের নমুনা নিবেশন দেখানো হলো।
নমুনা অনুপাতের নমুনা নিবেশন (Sampling distribution of sample proportion)
উদাহরণ ১ এর উত্তর দিতে হলে আমাদের নমুনা অনুপাতের নমুনা নিবেশন জানতে হবে। এর আগে আমরা নমুনা গড়ের নমুনা নিবেশন দেখেছি। একই ভাবে নমুনা অনুপাতের নমুনা নিবেশন দেখানো হবে।
প্রথমেই জেনে নেই নমুনা অনুপাত বলতে আমরা কী বুঝি?
উদাহরণ ১ –এ আমাদের উদ্দেশ্য প্রকৃত জনগোষ্ঠিতে কত শতাংশ মানুষ একটি রাজনৈতিক দলকে সমর্থন করে তা জানা। ব্যাপারটাকে প্রথমে ছোট আকারে দেখার চেষ্টা করি। ধরি একটি কামরায় ৬ জন অতিথি আছে। তাদের মধ্যে পুরুষ আছে ৩ জন এবং মহিলা ৩ জন। তাহলে কামরাটিতে পুরুষের অনুপাত (proportion of male in the room) ৩/৬ = .৫ অর্থাৎ ৫০%. এই ৬ জনের মধ্যে ধরা যাক ৪ জন একটি বিশেষ দলকে সমর্থন করে। তাহলে সেই দলটির সমর্থকের অনুপাত (proportion favouring a party) = ৪/৬ = .৬৭ বা প্রায় ৬৭%।
এভাবে জনগোষ্ঠিতে এই সমর্থনের অনুপাত কত সেটাই আমাদের জানার উদ্দেশ্য। এ জন্য আমরা জনগোষ্ঠি থেকে দৈব চয়নের মাধ্যমে নমুনা সংগ্রহ করি এবং সেই নমুনার মধ্যে একটি দলের কত শতাংশ সমর্থক আছে তার ভিত্তিতে আমরা জনগোষ্ঠিতে সমর্থনের অনুপাতকে প্রাককলন (estimate) করি।
ধরি, আমাদের দৈব চলকটি X যা কতজন দলটিকে সমর্থন করে তা নির্দেশ করছে। আমরা যদি n সংখ্যক মানুষকে দৈব চয়নের মাধ্যমে নির্বাচিত করি তাহলে তাদের মধ্যে যারা দলটিকে সমর্থন করে তার অনুপাত
এটিকে আমরা নমুনা অনুপাত বা sample proportion বলব। এটি একটি দৈব চলক কারণ ভিন্ন ভিন্ন নমুনার জন্য এর মান ভিন্ন ভিন্ন হবে। নমুনা অনুপাত নিয়ে সম্ভাবনার কোন প্রশ্নের উত্তর দিতে হলে আমাদের জানতে হবে এই নমুনা অনুপাতের গড় এবং পরিমিত ব্যবধান এবং এর সম্ভাবনা বিন্যাস। এখানে প্রকৃত দৈব চলক X দ্বিপদ বিন্যাস অনুসরণ করে এবং নমুনা অনুপাত দৈব চলকটি কেন্দ্রীয় সীমা থিওরেম অনুসারে প্রায় নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করবে যার গড় এবং ভেদাংক (variance) হবে নিম্নরুপ—
অর্থাৎ নমুনা অনুপাতের সম্ভাবনা বিন্যাস প্রায় নরমাল এবং এর গড় p এবং পরিমিত ব্যবধান p(1-p)/n এর বর্গমূল।
আস্থার ব্যবধান (Confidence Interval)
একটি চলকের নমুনা নিবেশন জানা হয়ে গেলে আমরা আস্থার ব্যবধান সহজেই জানতে পারি। পরিসংখ্যানে আমরা নমুনা থেকে তথ্য নিয়ে সমগ্র জনগোষ্ঠি সম্পর্কে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করি। অর্থাৎ কোন একটি চলকের ক্ষেত্রে (ধরা যাক মানুষের গড় উচ্চতা) জনগোষ্ঠিতে এর গড় কত তা জানতে আমরা জনগোষ্ঠির সবার কাছে থেকে তথ্য না নিয়ে বরং একটি নমুনা নিয়ে সেখান থেকে জনগোষ্ঠির গড় প্রাককলন করি। প্রাককলনে অবশ্যই কিছু ত্রুটি থাকবে। আমাদের অনুমান তাই শতভাগ সঠিক হবে না। তবে পরিসংখ্যানে আমরা যেটা করতে পারি তা হলো প্রাককলনটি কতভাগ সঠিক তার একটা পরিমাপ আমরা করতে পারি। এমনটি করা সম্ভব হয় তখনই যখন নমুনাগুলো নেয়া হয় দৈব চয়নের মাধ্যমে। দৈব চয়নের মাধ্যমে নমুনা না নিলে সেখানে পরিসংখ্যানের কোন তত্ত্বই প্রয়োগ করা যাবে না। সেজন্যই পত্রিকাগুলোতে যে অনলাইন ভোট নেয়া হয় সেগুলি পরিসংখ্যান সম্মত নয়, এবং সেখান থেকে পুরো জনগোষ্ঠি সম্পর্কে কোনরকম সিদ্ধান্তে আসা যাবে না।
জনগোষ্ঠির প্রকৃত গড়ের 100 (1-alpha)% আস্থার ব্যবধান বের করার সূত্র:
এখানে SE মানে হলো standard error বা নমুনা নিবেশনের পরিমিত ব্যবধান (standard deivation of sampling distribution). আর alpha হল যতটুকু ভুল আমরা গ্রহণ করতে রাজি আছি। যেমন ৯৫% আস্থার ব্যবধান বের করার অর্থ হলো ৫% ভুল গ্রহণ করা। সেক্ষেত্রে আলফা = .০৫.
প্রকৃত গড়ের ৯৫% আস্থার ব্যবধানের সূত্র হবে
নরমাল বিন্যাসের সারণি থেকে আমরা আলফার বিভিন্ন মানের জন্য Z এর মান পেতে পারি। এরকম Z এর কয়েকটি বহুলপ্রচলিত মান নিচের সারণিতে দেয়া হল।
| % আস্থার ব্যবধান | আলফা এর মান | Z _alpha/2 |
95% | .05 | 1.96 |
90% | .1 | 1.645 |
99% | .01 | 2.58 |
জনগোষ্ঠির গড় এর ৯৫% আস্থার ব্যবধানের মানে কী?
আস্থার ব্যবধান এমন দুটি মান দেয় যা প্রকৃত জনগোষ্ঠির গড় এই ব্যবধানের মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা ৯৫% তা নির্দেশ করে। অর্থাৎ আমরা যদি অসংখ্যবার নমুনা নিয়ে সেখানে থেকে গড় প্রাককলনের জন্য আস্থার ব্যবধান বের করি তাহলে প্রায় ৯৫ ভাগ আস্থার ব্যবধান প্রকৃত গড়কে ধারণ করবে।
উদাহরণ
ধরা যাক আপনি দৈব চয়ন করে ৫০ জন মানুষকে বাছাই করে তাদের উচ্চতার গড় বের করলেন যা ৫ ফুট ২ ইঞ্চি। বা ৬২ ইঞ্চি। আমরা প্রকৃত জনগোষ্ঠিতে মানুষের গড় উচ্চতার ৯৫% আস্থার ব্যবধান (95% confidence interval) আমরা বের করতে চাই। ধরা যাক জনগোষ্ঠির পরিমিত ব্যবধান আমাদের জানা আছে, এবং সেটি ১০ ইঞ্চি।
সমাধান
নমুনা গড়ের নমুনা নিবেশন থেকে আমরা জানি নমুনা গড়ের সম্ভাবনা বিন্যাস হবে প্রায় নরমাল, যার গড় ৬২ ইঞ্চি এবং পরিমিত ব্যবধান ১০/বর্গমূল(৫০) = ১.৪১৪।
৯৫% আস্থার ব্যবধানের জন্য জেড এর মান ১.৯৬. তাহলে আস্থার ব্যবধানটি হবে—
[৬২ – (১.৯৬ × ১.৪১৪)] থেকে [৬২ + (১.৯৬ × ১.৪১৪)] এর মধ্যে, অর্থাৎ (৫৯.২২, ৬৪.৭৭)
এর অর্থ হলো আমরা যদি অসংখ্যবার এরকম নমুনা জরিপ করি এবং জনগোষ্ঠির গড় এরকম ব্যবধানের (interval) মাধ্যমে প্রাক্কলন করি তাহলে ৯৫% ব্যবধানই প্রকৃত গড়কে ধারণ করবে। সহজ কথায় বলা যায় আমরা প্রায় ৯৫% নিশ্চিত যে প্রকৃত গড়টি (৫৯.২২, ৬৪.৭৭) এর মধ্যে হবে।
প্রকৃত অনুপাতের ৯৫% আস্থার ব্যবধান (95% confidence interval for population proportion)
প্রকৃত গড়ের ৯৫% আস্থার ব্যবধানের সূত্রকে ব্যবহার করে আমরা প্রকৃত অনুপাতের আস্থার ব্যবধান বের করতে পারি। নমুনা অনুপাতের প্রকৃত গড় হল p এবং পরিমিত ব্যবধান p(1-p)/n এর বর্গমূল।
সাধারণত প্রকৃত অনুপাতের (population proportion) মান জানা থাকেনা। সেক্ষেত্রে উপরের সূত্রে নমুনা অনুপাত (sample proportion) ব্যবহার করা হয়। তাহলে প্রকৃত অনুপাতের ৯৫% আস্থার ব্যবধান হবে
উদাহরণ
নির্বাচনের আগে প্রধান দুই রাজনৈতিক দল নানা সংস্থাকে দিয়ে জরিপ পরিচালনা করে থাকে। ধরা যাক একটি সংস্থা ৫০০০ মানুষকে দৈব চয়নের মাধ্যমে নির্বাচিত করে জেনেছে একটি বিশেষ দলের পক্ষে ৪৫% জনসমর্থন আছে। তাহলে প্রকৃত অনুপাতের ৯৫% আস্থার ব্যবধান কত? অর্থাৎ আমরা একটি ব্যবধান (interval) জানতে চাইছি যার মধ্যে প্রকৃত জনগোষ্ঠির অনুপাতটি থাকবে– তার সম্ভাবনা প্রায় ৯৫%।
সমাধান
এখানে নমুনা অনুপাত ৪৫% বা .৪৫। ৯৫% আস্থার ব্যবধানের জন্য মার্জিন অফ এরর হবে
1.96 * sqrt(.45 (1-.45)/5000) = .0137
তাহলে আস্থার ব্যবধান হবে (.৪৫ – .০১৩৭, .৪৫+.০১৩৭) = (.৪৩৬২, .৪৬৩৮). অর্থাৎ আমরা ৯৫% আস্থা সহকারে বলতে পারি যে জনগোষ্ঠিতে প্রকৃত অনুপাত ৪৩.৬২% থেকে ৪৬.৩৮% এর মধ্যে হবে। অর্থাৎ প্রকৃত জনগোষ্ঠির ৪৩.৬২% থেকে ৪৬.৩৮% মানুষ দলটিকে সমর্থন করে সেটি আমরা ৯৫% আস্থা নিয়ে বলতে পারি।
উল্লেখ্য যে এরকম জরিপ অসংখ্যবার করা হলে ৫% ক্ষেত্রে আমাদের প্রাককলন ভুল হতে পারে। আমরা যদি ভুলের হার আরো কম ধরতে চাই, যেমন ১%, তাহলে ৯৯% আস্থার ব্যবধানের জন্য মার্জিন অফ এরর হবে
2.58 * sqrt(.45 (1-.45)/5000) = .0181
তাহলে আস্থার ব্যবধান হবে (.৪৫ – .০১৮১, .৪৫ + .০১৮১) = (.৪৩১৮, .৪৬৮২). অর্থাৎ সেক্ষেত্রে আমাদের আস্থার ব্যবধানটি বড় হয়ে যাবে। আমরা ৯৯% আস্থা সহকারে বলতে পারবো যে প্রকৃত অনুপাতটি ৪৩.১৮% থেকে ৪৬.৮২% এর মধ্যে হবে।
এত কিছু জানা দরকার কেন?
এত না জানলেও চলে, তবে জানলে জিনিসটা বিশ্বাসযোগ্য হয়।
এসব জানা থাকলেই আমরা উদাহরণ ১ এবং ২ এর প্রশ্নগুলোর উত্তর বের করতে পারবো। এবারে উত্তরগুলো জেনে নেয়া যাক। প্রথমেই উদাহরণ ২ এর সমাধান দেখি।
উদাহরণ ২ সমাধান
এখানে জানতে চাওয়া হয়েছে প্রকৃত জনগোষ্ঠিতে মানুষের গড় উচ্চতা ৫৮ ইঞ্চি থেকে ৬৬ ইঞ্চির মধ্যে তার সম্ভাবনা কত?
আমাদের কাছে তথ্য আছে—নমুনার সংখ্যা ৫০ জন; নমুনা গড় ৬২ ইঞ্চি এবং জনগোষ্ঠিতে পরিমিত ব্যবধান ১০ ইঞ্চি। আমরা জানতে চাইছি
যেহেতু নমুনা গড়ের সম্ভাবনা বিন্যাস আমরা জানি, সেহেতু নমুনা গড়কে আমরা Z-স্কোরে পরিণত করতে পারলেই সম্ভাবনা বের করতে পারবো। আগের পর্বে (লেকচার ১৫) আমরা দেখিয়েছি কিভাবে জেড-স্কোর থেকে সম্ভাবনা বের করা হয়। তাহলে দেখি কিভাবে আমরা সম্ভাবনা বের করতে পারি।
আস্থার ব্যবধানের সূত্র ব্যবহার করেও এটি সমাধান করা যায় যা নিচের চিত্রে দেখানো হলো।
এবারে আসুন উদাহরণ ১ সমাধান করা যাক।
উদাহরণ ১ (আবার উল্লেখ করা হল)
গত পর্বে আমরা এরকম একটি প্রশ্ন রেখেছিলাম– নির্বাচনের আগে প্রধান দুই রাজনৈতিক দল নানা সংস্থাকে দিয়ে জরিপ পরিচালনা করে থাকে। একটি দল জরিপ করে জেনেছে তাদের পক্ষে ৪৫% জনসমর্থন আছে।
ক) জনগোষ্ঠীতে এই সংখ্যা প্রকৃতপক্ষে ৪২-৪৮% এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা কত?
খ) জনসমর্থন আসলে ৪০% এর কম তার সম্ভাবনা কত?
গ) জনসমর্থন প্রকৃতপক্ষে ৫০%এর বেশী তার সম্ভাবনা কত?
ঘ) যদি প্রকৃত জনগোষ্ঠিতে জনসমর্থন ৫০-৫০ হয়, তাহলে সম্ভাবনা ৪২%-৪৮% এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা কত?
সমাধান
আজ এ পর্যন্তই থাক। নমুনা নিবেশন বুঝে থাকলে হয়তো বুঝতে পারছেন ১৬ কোটির জনতার মতামত কি ৫০০০ জন দিয়ে করা সম্ভব? হয়তো সম্ভব, হয়তো নয়। সম্ভব হলে কখন সম্ভব? এসব আলোচনা নিয়ে শীঘ্রই আরেকটি পোস্ট আসছে। চোখ রাখুন শিক্ষক ডট কম-এ।
আগের লেকচার-এর লিংক
লেকচার ২ – গবেষণা পদ্ধতি ও চলক সম্পর্কে ধারণা
লেকচার ৩ – ড্যাটা সামারি বা উপাত্ত সারাংশ (কোয়ালিটেটিভ ভ্যারিয়েবল)
লেকচার ৪ – হিস্টোগ্রাম ও ড্যাটার শেইপ
লেকচার ৫ – কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও তার পরিমাপসমূহ
লেকচার ৬ – ভেদ ও এর পরিমাপসমূহ
লেকচার ৭ – তুলনামূলক অবস্থান ও z-score
লেকচার ১১ – কতিপয় জটিল ঘটনার সম্ভাবনা
লেকচার ১২ – দৈব চলক ও তার সম্ভাবনা বিন্যাস
1 comment
zubaeirimtiaz
নভেম্বর 9, 2016 at 7:31 অপরাহ্ন (UTC -5) Link to this comment
assalamu alaikum. sir amake ki kono vabe help korte parben. kothata holo ami degree final year a pori amar statistic subject ase kintu dukkher kotha goto two year amar boi na thakar karone shubidha jonok valo result korte parinai. apnar shahajjo kamona korci jmn final year ar jonno ami ki boi porte pari amader collage teacher boi jogar korle bertho amader ai selebus bangla boi onujai amni jodi amay kono boi ar name bole dite parten. amar mobail number 01766320332.