Print 
PDF[নিবন্ধনের লিংক] [কোর্সের মূল পাতা]
সম্ভাবনা (Probability)
এনায়েতুর রহীম
সম্ভাবনা শিখতে এসে অনেকই সম্ভবত প্রথম যে সমস্যার মুখোমুখি হয় তা হলো সম্ভাবনার সংজ্ঞা। সম্ভাবনাকে সাধারণত সংজ্ঞায়িত করা হয় সম্ভাবনার প্রতিশব্দ দিয়ে। সম্ভাবনার ইংরেজি probability, আবার chance এর অর্থও প্রায় সম্ভাবনার কাছাকাছি। সম্ভাবনা মানে হলো কোন কিছু ঘটার প্রবাবিলিটি! তাহলে প্রবাবিলিটি কী? প্রবাবিলিটি হলো কোন কিছু ঘটার সম্ভাবনা। হা হা হা।
সম্ভাবনা একটি ধারণা। এটি এমন একটি ধারণা যা দিয়ে কোন একটি ইভেন্ট (বা ঘটনা) ঘটবে কি ঘটবে না তা সংখ্যাকারে প্রকাশ করা। যেমন, আজ বৃষ্টি হলে কাল বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় ৯০ শতাংশ। জিম্বাবুয়ের বিরুদ্ধে বাংলাদেশ দলের তৃতীয় ম্যাচে জিতে সিরিজ জয়ের সম্ভাবনা ৫০%. এই যে সম্ভাবনার কথা আমরা প্রায়শই বলে থাকি, পত্র-পত্রিকায় প্রায়ই এরকম সংখ্যা দেখে থাকি, এগুলো কিভাবে বের করে তা হয়তো অনেকেরই জানতে ইচ্ছে করে।
সম্ভাবনার প্রাথমিক ধারণা
যেমনটি উপরে উল্লেখ করেছি, সম্ভাবনা বলতে কোন একটি ঘটনা (event) ঘটবে কি ঘটবে না তা একটি সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা বোঝায়। যেমন আমরা অনেকেই বলে থাকি বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের জিম্বাবুয়ের সাথে কোন একটি ম্যাচে জয়ের সম্ভাবনা ফিফটি-ফিফটি। আবার অবশ্যম্ভাবী ঘটনার ক্ষেত্রে আমরা বলি ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা শতভাগ বা ১০০%. আর প্রায় অসম্ভব একটি ঘটনা যেমন লটারীতে ৫০ লক্ষ টাকা জেতার সম্ভাবনা প্রায় শুন্য বা শুন্য শতাংশ। এভাবে আমরা কোন একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে একটা সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করি, অর্থাৎ সম্ভাবনাকে নামক অধরা জিনিসটিকে একটি সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করি। কিংবা এভাবেও বলা যায় – সম্ভাবনার ঘাড়ে একটা সংখ্যা বরাদ্দ (assign) করা হয়। আমি assign শব্দটি ব্যবহার করছি কারণ সম্ভাবনাকে আসলে বরাদ্দ (বা এসাইন) করা হয়। কিভাবে করা হয় তা আমরা একটু পরেই জানবো।
উপরে ক্রিকেট খেলার উদাহরণ থেকে বুঝলাম আমরা ইচ্ছে মত সম্ভাবনা বরাদ্দ করতে পারি। বাংলাদেশ-জিম্বাবুয়ের খেলায় বাংলাদেশের জয়ের সম্ভাবনা কেউ বলবে ৫০% আবার কেউ বলবে ৬০%, কেউ বলবে ৯০%. কেউ হয়তো বলবে সম্ভাবনা ১০০%. এভাবে খেলায় জয়লাভের উপর সম্ভাবনা বরাদ্দ করার ধরনকে “স্বতস্ফূর্ত সম্ভাবনা” বা subjective probability বলা যায়। এধরনের সম্ভাবনা বেরা করা সহজ কিন্তু তা ব্যক্তি ভেদে ভিন্ন ভিন্ন হয়। এটি সাবজেক্টিভ প্রবাবিলিটির বড় সীমাবদ্ধতা।
এই সীমাবদ্ধতা কাটিয়ে ওঠার জন্য সম্ভাবনাকে একটু ভিন্নভাবে তুলনামূলক ঘটনসংখ্যা দিয়ে ব্যাখ্যা করা হয়।
তুলনামূলক ঘটনসংখ্যা (Relative Frequency)
একটি পরীক্ষণ (experiment) একাধিকবার সম্পাদন করলে কোন একটি ঘটনা (event) যতবার ঘটে তাকে যদি পরীক্ষণটি যতবার সম্পাদন করা হয় তা দিয়ে ভাগ করা হয় তাহলে আমরা যা পাই সেটি হলো এই ঘটনাটির তুলনামূলক ঘটন সংখ্যা (relative frequency) । অর্থাৎ পরীক্ষণটি অসংখ্যবার সম্পাদন করলে কাংখিত ইভেন্টটি তুলনামুলভাবে যতবার ঘটে সেটিকে ই ইভেন্টের সম্ভাবনা বলা হয়। এই ধারনার আলোকে সম্ভাবনা আসলে প্রপরশন (proportion).
উদাহরণ: টস করা ও ছক্কা ছুঁড়ে মারা
আমরা জানতে চাইবো একটি কয়েন টস করলে হেড ওঠার সম্ভাবনা কত? এর উত্তর আমরা সবাই জানি—৫০%. তেমনি একটি ছক্কা ছুড়ে মারলে ৩ ওঠার সম্ভাবনা কত? এটির উত্তরও হয়তো আমরা অনেকেই জানি—১/৬ বা প্রায় ১৭%. কিন্তু প্রশ্ন হলো এই উত্তর আমরা কিভাবে জানলাম? সম্ভাবনা বের করার জন্য আমরা কি তাহলে নিজের অলক্ষেই রিলেটিভ ফ্রিকোয়েন্সির ধারণা ব্যবহার করছি? ঠিক তাই।
ব্যাপারটা বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করছি। ধরুন আপনার কাছে একটি কয়েন আছে এবং আপনি হেড ওঠার সম্ভাবনা কত তা পরীক্ষা করে দেখতে চান। আমরা কয়েনটি একের পর এক টস করবো এবং হেড ওঠে কিনা সেটা রেকর্ড করবো। পরীক্ষণের ফলাফল এবং হেড ওঠার তুলনামূলক ঘটনসংখ্যা নীচের চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো।
উপরের চিত্র থেকে আমরা দেখছি পাঁচবার টস করলে হেড আসার সম্ভাবনা ৪০%, কিন্তু দীর্ঘ মেয়াদে (in the long run) হেড ওঠার সম্ভাবনা প্রায় ৫০%. অর্থাৎ সম্ভাবনা একটি দীর্ঘ মেয়াদী ধারনা।
সম্ভাবনা কিভাবে গণনা করবো?
রিলেটিভ ফ্রিকোয়েন্সি ব্যবহার করে সম্ভাবনার ধারণা আমরা পেলাম, কিন্তু বাস্তব জীবনে এভাবে সম্ভাবনা বের করা কঠিন। আমাদের দরকার একটি সূত্র যা দিয়ে সম্ভাবনা বের করা যাবে।
রিলেটিভ ফ্রিকোয়েন্সি ধারনা ব্যবহার করে সম-সম্ভাব্য (equiprobable বা equally likely) ইভেন্ট এর সম্ভাবনা বের করার জন্য আমরা নীচের সূত্রটি ব্যবহার করবো। ধরা যাক আমরা একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা বের করতে চাই; ইভেন্টি হলো কয়েন টস করলে হেড আসার সম্ভাবনা। ধরুন সম্ভাবনাকে আমরা ইংরেজী বড় হাতের পি (P) এবং আমাদের ইভেন্ট “হেড” কে ইংরেজী বড় হাতের এইচ (E) দিয়ে প্রকাশ করি। তাহলে হেড আসার সম্ভাবনাকে আমরা লিখবো P(E), যা আমরা বের করবো এভাবে –
কয়েন টস করে হেড ওঠার সম্ভাবনা
কয়েন টস করার পরীক্ষণের নমুনা ক্ষেত্রে মোট দুটি উপাদান থাকে—হেড এবং টেইল। এই পরীক্ষণের ইভেন্টগুলোকে আমরা এভাবে লিখতে পারি:
নমুনা ক্ষেত্র বা Sample space, S = {H, T}
ইভেন্ট E = {H}
ইভেন্টের সম্ভাবনা অর্থাৎ হেড ওঠার সম্ভাবনা, P(E) = # of outcomes in E / # of outcomes in S = ১/২ = ০.৫
ছক্কা ছুঁড়লে ৩ ওঠার সম্ভাবনা
একইভাবে একটি ছক্কা ছুঁড়লে মোট ছয় ধরনের ফল আসতে পারে—১, ২ ৩, ৪, ৫ অথবা ৬; এই ছয়টি ফলের প্রত্যেকটি আসার সম্ভাবনা সমান। এই পরীক্ষণটির ফলগুলি তাই সম-সম্ভাব্য। তাই ৩ ওঠার সম্ভাবনা = ১/৬ = ০.১৬৭
কনসেপ্ট চেক
উপরে যা শিখলাম তার একটা পরীক্ষা নেয়া যাক।
একবার টস করলে হেড আসার সম্ভাবনা .৫, তাহলে দুইবার টস করলে হেড আসার সম্ভাবনা কত? উত্তর নিচে ব্যাখ্যা করেছি।
নিজে করি
দেখলেন তো সম্ভাবনা বের করা কত সহজ। তাহলে আসুন একটি পরীক্ষা করা যাক। একটি কয়েন নিয়ে ১০ বার টস করুন তো। দেখুন ৫ বার হেড আসে কিনা। অথবা একটি ছক্কা ছয়বার ছুঁড়ে মেরে দেখুন, একবার ৬ ওঠে কিনা? কেন পাঁচবার হেড উঠল না, কিংবা কেন ৬ উঠলনা সেটা কি ব্যাখ্যা করতে পারবেন?
জটিল ইভেন্টের সম্ভাবনা বের করা (Probability of Complex Events)
ধারণা করছি সম্ভাবনার ধারণাটি এখন একটু ভালো বুঝতে পারছেন। তাই একটা জটিল ইভেন্টের সম্ভাবনা বের করার চেষ্টা করি।
ধরি আপনার হাতে দুটি কয়েন আছে। আপনি কয়েন দুটোকে টস করবেন। একসাথেও করতে পারেন, বা আলাদা আলাদাও করতে পারেন। যেহেতু কয়েন দুটি আলাদা এবং একই রকমের, তাই একটি কয়েন টসের ফলাফলের সাথে অন্য কয়েন টসের ফলাফলের কোন সম্পর্ক নেই। এরকম ঘটনা যেখানে একটি ঘটনার সাথে আরেকটি ঘটনার কোন নির্ভরতা থাকেনা তাদের অনির্ভরীল ঘটনা বা ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট (Independent Event) বলে।
দুটি কয়েন টস করার পরীক্ষা থেকে এবারে আমরা যে ইভেন্টগুলোর সম্ভাবনা জানতে চাই–
১) দুটি টসেই হেড উঠবে
২) কমপক্ষে একটি হেড উঠবে
৩) কোন হেড উঠবে না।
এই সম্ভাবনাগুলো বের করার জন্য প্রথমেই আমাদের জানতে হবে দুটি কয়েন টসের এই পরীক্ষার নমুনা ক্ষেত্র। অর্থাৎ জানতে হবে পরীক্ষণটি সম্পাদন করলে কত রকমের ফলাফল আসতে পারে।
লেকচার ৯ এ আমরা গুননের নিয়ম শিখেছিলাম। সেটি ব্যবহার করে আমরা বলতে পারি এই পরীক্ষণে ২ গুনন ২ = ৪টি সম্ভাব্য ফল আসবে। নিচের চিত্রে পরীক্ষণের ফলগুলোকে আমরা দেখার চেষ্টা করি। এই পরীক্ষণটি দুটি ধানে সম্পন্ন করা যাবে– প্রথম ধাপে একটি কয়েন টস করা হবে যার ফলাফল হতে পারে হেড অথবা টেইল। প্রথম ধাপে হেড আসলে দ্বিতীয় ধাপে দ্বিতীয় কয়েনটি টস করা হবে এবং তার ফলাফল হেড অথবা টেইল হতে পারে। এভাবে সম্ভাব্য ফলগুলোকে ছবিতে দেখানো হয়েছে।
তাহলে দেখতে পারছি দুটি কয়েন টস করলে মোট চার ধরনের ফলাফল আমরা পেতে পারি। তাহলে আমাদের স্যাম্পল স্পেইস বা নমুনা ক্ষেত্রে হবে
S = {HH, HT, TH, TT}
স্যাম্পল স্পেইস জানা হয়ে গেলে সম্ভাবনা গণনা করা একদম সহজ।
উত্তর ১) দুটি টসে হেড উঠবে এমন ইভেন্ট আছে একটি , {HH}, এর সম্ভাবনা= ১/৪
উত্তর ২) কমপক্ষে একটি হেড উঠবে এমন ইভেন্ট আছে তিনটি, {HH}, {HT}, {TH}, যার সম্ভাবনা = ৩/৪
উত্তর ৩) কোন হেড উঠবেনা মানে হলো সবগুলো টেইল উঠবে। দুটি টসেই টেইল উঠবে এমন ইভেন্ট আছে একটি, {TT}, তার সম্ভাবনা = ১/৪
সারাংশ
শেষ করার আগে সম্ভাবনার বৈশিষ্ট্যগুলো আমরা লিপিবদ্ধ করি–
১) কোন একটি ঘটনার সম্ভাবনা ০ থেকে ১ এর মধ্যে হয় (০ এবং ১ ও হতে পারে)।
২) কোন ইভেন্ট বা ঘটনার সম্ভাবনা সেই ইভেন্টের মধ্যে সবগুলো উপাদানের সম্ভাবনার যোগফলের সমান। উদাহরণ: একটি ছক্কা ছুঁড়লে জোড় সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা বের করতে হলে যতগুলো সম্ভাব্য জোড় সংখ্যা আছে তাদের প্রত্যেকটি আসার সম্ভাবনা যোগ করলেই হবে। সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২ ওঠার সম্ভাবনা + ৪ ওঠার সম্ভাবনা + ৬ ওঠার সম্ভাবনা = ১/৬ + ১/৬ + ১/৬ = ৩/৬ = ১/২
৩) কোন পরীক্ষণের নমুনা ক্ষেত্রের সবগুলো উপাদানের প্রত্যেকটির সম্ভাবনা যোগ করলে যোগফল ১ হবে।
আজ এ পর্যন্তই থাক। আগামী পর্বে আরো জটিল ইভেন্টের সম্ভাবনা বের করা শিখবো। এ পর্বে যা শিখলেন তা কুইজে অংশ নিয়ে ঝালিয়ে দেখতে পারেন।
সাথে থাকার জন্য ধন্যবাদ।
কুইজ
আগের লেকচার-এর লিংক
লেকচার ২ – গবেষণা পদ্ধতি ও চলক সম্পর্কে ধারণা
লেকচার ৩ – ড্যাটা সামারি বা উপাত্ত সারাংশ (কোয়ালিটেটিভ ভ্যারিয়েবল)
লেকচার ৪ – হিস্টোগ্রাম ও ড্যাটার শেইপ
লেকচার ৫ – কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও তার পরিমাপসমূহ
লেকচার ৬ – ভেদ ও এর পরিমাপসমূহ
লেকচার ৭ – তুলনামূলক অবস্থান ও z-score
1 ping
পরিসংখ্যান পরিচিতি – লেকচার ১১ – কতিপয় জটিল ঘটনার সম্ভাবনা- Probability of Complex Events
জুন 2, 2013 at 3:47 অপরাহ্ন (UTC -5) Link to this comment
[…] লেকচার ১০ – সম্ভাবনা […]