«

»

জানু. 09

কোয়ান্টাম কম্পিউটেশন – লেকচার ২ক – কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস

আগের লেকচারে আমরা জেনেছিলাম জটিল সংখ্যা হল কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রাণ। কথাটা ভুল না হলেও একটি খন্ডিত সত্য। জটিল সংখ্যাকে কিভাবে ব্যবহার করা হবে সেটি যদি আমরা না জানি তাহলে ব্যাপারটি ঠিক পরিষ্কারভাবে বুঝা যাবে না। এই জন্যই আমাদের কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস জানা দরকার। কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস মানে হল ভেক্টর দ্বারা গঠিত এমন একটি স্পেস যেখানে ভেক্টরের উপাদানগুলি হল জটিল সংখ্যা।

 

পূর্বসূত্র: আগের লেকচার / ভিডিও দেখার পর যদি অনেকদিন পার হয়ে যায় তাহলে সেটি দেখে আপনি আরেকবার ঝালাই করে নিতে পারেন এই লিংক থেকে।

দেখা শেষ? মনে পড়ে গেছে সব? গুড, এইবার তাহলে আজকের লেকচার।

এই লেকচারটির উপর ভিত্তি করেই নিচের আলোচনা।

 

আমরা ইতিমধ্যে বাস্তব সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা আর জটিল সংখ্যা জানি। আমরা এও জানি কাল্পনিক সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার মতই বাস্তব আর জটিল সংখ্যা নিতান্তই সহজ সরল। এরকম উল্টা পাল্টা নাম তাদের কপাল দোষ ছাড়া আর কিছুই না। কেউ যদি আমাদের একটি জটিল সংখ্যা দেয় আমরা আর্গন্ড ডায়গ্রামে দেখিয়ে দিতে পারি এটির অবস্থান কোথায়। এর বাইরে যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ তো আছেই।

কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস আমরা একটু বিস্তারিত জানব কাজেই এই লেকচারটি একাধিক পর্বের হবে। এই কোর্সের বাকি সব কিছুই কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস ব্যবহার করে করা হবে। কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস অনেক ধরণের হয়। আমরা তার মধ্যে শুধুমাত্র হিলবার্ট স্পেস নিয়ে মাথা ঘামাব।

শিরোনামে দেখুন তিনটি শব্দ –  কমপ্লেক্স, ভেক্টরস্পেস। এর মধ্যে কমপ্লেক্স তো আপনারা জানেনই। আগের লেকচারে যাকে আমরা জটিল সংখ্যা বলেছি সেটিই হল কমপ্লেক্স নাম্বার। এখন তাহলে স্পেস বস্তুুটি কি? গণিতে সেট ব্যাপারটির সাথে আমরা পরিচিত। স্পেস হল একটি সেট যার কিছু আবার অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য থাকে।  যেমন একটি উদাহরণ দেই। মানুষের বয়সের যে সম্ভাব্য স্পেস সেটি কেমন? অবশ্যই একটি একটি বাস্তব সংখ্যার সেট হবে কিন্তু আমরা তাতে কিছু শর্ত জুড়ে দিব। কিরকম? অবশ্যই কারো বয়স ঋণাত্মক সংখ্যা হবে না। ঠিক তেমনি কারো বয়স ইররেশনাল নাম্বারও (অমূলদ সংখ্যা) হবে না।  এভাবে সেটের উপর একটার পর একটা শর্ত লাগিয়ে আপনি মানুষের বয়সের স্পেসকে নিখুতভাবে নির্ণয় করতে পারবেন। স্পেসের আরেকটি উদাহরণ দেয়া যাক।

goru

খুঁটিতে বাঁধা মনগরু

 

মনে করুণ ঈদুল আজহার আগের দিন। আপনার কোরবানীর গরু খুঁটিতে বাধা। ঘড়ির কাটার বিপরীতে ঘুরে ঘুরে ঘাস খাচ্ছে। যেহেতু গরুর ছবি আঁকি নাই, মনে মনে কল্পনা করে নিতে হবে। কাজেই এটিকে আমরা বলব মনগরু। একটি বিন্দুকে আমরা শূন্য রেডিয়ান ধরব। আপনি চাইলে ডিগ্রীতেও ধরতে পারেন কিন্তু আমরা রেডিয়ানে বল। তাহলে আমাদের মনগরু 0 থেকে শুরু করে কখনও [latex]\frac{1}{4}\pi[/latex], কখনও [latex]\frac{2}{3}\pi[/latex], কখনও [latex]\frac{1}{2}\pi[/latex], কখনও [latex]\frac{3}{4}\pi[/latex], কখনও [latex]\pi[/latex], এভাবে পুরো ঘুরলে আবার আগের জায়গায় ফিরে আসে। শুধু যে কোণগুলো উল্লেখ করেছি সেগুলোই নয়, এদের মধ্যে যেকোন কোণই হতে পারে মনগরুর ঘুরার পরিমাণ। সম্ভাব্য ঘুরার পরিমাণের সংখ্যা আসলে অসীম তবে এটি সব সময়ই 0 ও [latex] 2\pi [/latex] এর মধ্যে থাকবে। কাজেই আমরা বলতে পারি রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে মনগরুর কোন একটি মুহুর্তের কৌণিক দূরত্বের স্পেস সাইজ অসীম কিন্তু এর মান সবসময় 0 থেকে [latex] 2\pi [/latex] এর মধ্যে। যারা চান মনগরু ঘড়ির কাটার দিকেও ঘুরুক তাদের ক্ষেত্রেও স্পেসের সাইজ হবে অসীম কিন্তু এর ব্যাপ্তি হবে [latex] -2\pi [/latex] থেকে [latex] 2\pi [/latex] ।

তাহলে আমরা বুঝে গেছি কমপ্লেক্স কি আর স্পেস কি। তাহলে কি বাকি থাকল? ভেক্টর

এই ব্যাপারটি বাংলাদেশে এইচএসসির পদার্থবিদ্যায় একদম প্রথম দিনই শেখানো হয়। স্কেলার ও ভেক্টর রাশি একসাথে শেখানো হয়।

ধরুন আমি জানতে চাইলাম আপনার বয়স কত? আপনি বললেন ৩২। তার মানে আপনি একটি তথ্য দিয়ে ব্যাপারটি জানিয়ে দিলেন। কিন্তু সবসময় কি এভাবে সম্ভব? পত্রিকায় যখন সন্ত্রাসী ধরা পড়ার খবর ছাড়া হয় তখন তার পরিচয় কিভাবে দেয়া হয়? জাহাঙ্গীর খান ওরফে কালা জাহাঙ্গীর, বয়স ৩২, পিং- বাদল খান, সাং- নোয়াপুর – এইভাবে তাই না? তার মানে সিনিয়র সন্ত্রাসীদের পরিচয় একটি মাত্র তথ্য দিয়ে দেয়া যায় না, একাধিক তথ্য লাগে। যেসব ব্যাপারে একাধিক তথ্য লাগে তাদের বলা হয় ভেক্টর। গণিতে ভেক্টর কে ব্র্যাকেট ‘(‘ ও ‘)’ এর মাঝখানে উপর নিচে করে লেখা হয়।  যেমন –

kala-jahangir

 

ধরুণ আপনি বাসে চড়ে কোথাও যাচ্ছেন। কোন একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে আপনি কাঁচপুর ব্রীজের উপরে। এখন কেউ যদি আপনার ওই নির্দিষ্ট মুহুর্তের অবস্থা জানতে চায় শুধু কাচপুর ব্রীজের উপরে বললেই কিন্তু পুরো তথ্য পাওয়া যাবে না, আপনাকে এও বলতে হবে ঢাকার দিকে যাচ্ছেন নাকি চট্রগ্রামের দিকে যাচ্ছেন। কাজেই ভেক্টর হল একাধিক তথ্যের সমন্বিত রুপ। আমরা যদি মনগরুর উদাহরণে ফেরত যাই তাহলে ভেক্টরটি এখানে কি? ধরেন আপনার বন্ধু জানতে, চাইল মনগরু কোথায়? আপনি উত্তর দিলেন [latex]\begin{pmatrix}\frac{3}{4}\pi \\ +1\end{pmatrix}[/latex]। লেখার সুবিধার জন্য ঘড়ির কাটার দিকে হলে +1 আর বিপরীত দিকে হলে -1। তাহলে আপনি আসলে একটি ভেক্টরের মাধ্যমে আপনার বন্ধুর প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছেন।

আপনি এই মাত্র যে ভেক্টর ব্যবহার করে আপনার বন্ধুর প্রশ্নের উত্তর দিলেন তার একটি ব্যাপার খেয়াল করেছেন? তার দুইটি এলিমেন্টই বাস্তব সংখ্যা। কিন্তু সবসময় এরকম হতে হবে এমন কি কোন কথা আছে? না নেই। এলিমেন্ট কি জটিল সংখ্যা হতে পারে না? অবশ্যই হতে পারে। কেন হবে না! এই যে ধরেন  [latex]\begin{pmatrix}\frac{3}{4} + i \\ \sqrt{2} + 9i\end{pmatrix}[/latex] একটি কমপ্লেক্স ভেক্টর। আপনারা ইতিমধ্যে বুঝতে পারছেন কোন ভেক্টরের অন্তত একটি বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এর এলিমেন্ট (উপাদান) সংখ্যা বা ডাইমেনশন। [latex]\begin{pmatrix}\frac{3}{4} + i \\ \sqrt{2} + 9i\end{pmatrix}[/latex] এর ডাইমেনশন দুই আর [latex]\begin{pmatrix}00 \\ 01 \\ 10 \\ 11\end{pmatrix}[/latex] এর ডাইমেনশন চার।

তাহলে আমরা এখন কমপ্লেক্স ভেক্টর আর স্পেস এই ধারণা দুটির মাঝে একটু গিট্টু লাগানোর চেষ্টা করি। যারা নাম্বার থিওরী বা সংখ্যা তত্ত্বের সাথে পরিচিত তারা জানেন আর যারা অপরিচিত তারা এখনই জেনে যাবেন যে বিভিন্ন সংখ্যার বিভিন্ন সেট গণিতবিদরা আগে থেকে সংজ্ঞায়িত করে রেখেছেন। যেমন, সকল বাস্তব সংখ্যার সেট [latex]\mathbb{R}[/latex], সকল জটিল সংখ্যার সেট [latex]\mathbb{C}[/latex] । অর্থাৎ আমরা এই কোর্সে যেসব কমপ্লেক্স ভেক্টর দেখব তাদের উপাদানগুলি সবসময়  [latex]\mathbb{C}[/latex]  থেকে আসবে। এখন কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস হল এমন একটি স্পেস যার সেটের উপাদানগুলো হবে কমপ্লেক্স ভেক্টর। তো সেই স্পেসের কমপ্লেক্স ভেক্টরগুলো যদি টু ডাইমেনশনাল হয় তাহলে স্পেসটি দেখতে কেমন হবে? এটি হবে  [latex]\mathbb{C}^2[/latex] । যদি ফোর ডাইমেনশনাল হয় তাহলে? তাহলে হবে [latex]\mathbb{C}^4[/latex]।

এইবার তাহলে বাড়ির কাজ!

দেখি এমন একটি কমপ্লেক্স ভেক্টর লিখেন তো যেটি থেকে নেয়া হয়েছে [latex]\mathbb{C}^5[/latex]।

তো আমরা কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেস জানলাম। এখন প্রশ্ন হল এই স্পেসের মধ্যে গণিতটি কেমন?  প্রথমে যোগ কেমন দেখে নেই। দুটি সংখ্যা আগে ঠিক করি।

[latex]V=\begin{pmatrix}6-4i \\ 7 + 3i \\ 4.2 + 8.1i \\ -3i\end{pmatrix}[/latex]

[latex]W=\begin{pmatrix}16-2.3i \\ -7i \\ 6 \\ -4i\end{pmatrix}[/latex]

তাহলে, V + W = ?

[latex]V+W=\begin{pmatrix}6-4i+16-2.3i\\7+3i-7i\\4.2+8.1i+6\\-3i-4i\end{pmatrix}[/latex]

[latex]=\begin{pmatrix}22-6.3i\\7-4i\\10.2+8.1i\\-7i\end{pmatrix}[/latex]

তার মানে দুইটি ভেক্টর যোগ করলে তাদের যোগফলের ডাইমেনশন একই থাকে। আর ভিন্ন ডাইমেনশনের দুটি ভেক্টর যোগ করা যায় না। এখন তাহলে আবার বাড়ির কাজ।

A আর B দুইটি ভেক্টর।

[latex]A=\begin{pmatrix}5+13i \\ 6 + 2i \\ 0.53 + 6i \\ 12\end{pmatrix}[/latex]

[latex]B=\begin{pmatrix}7-8i \\ 4i \\ 2 \\ 9.4+3i\end{pmatrix}[/latex]

এখন আপনাদের বের করতে হবে, A + B = ? এবং A – B = ?

যোগ বিয়োগ খুন, রইল বাকি ভাগ, গুণ! প্রথমে গুণ। একটি কমপ্লেক্স ভেক্টরকে আপনি দুই ধরণের সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে পারেন – স্কেলার সংখ্যা অথবা অন্য একটি কমপ্লেক্স ভেক্টর সংখ্যা। বাংলাদেশে এইচএসসির ছাত্রছাত্রীরা যেসময়ে পদার্থবিদ্যায় ভেক্টর পড়ে প্রায়ই একই সময়ে গণিতে ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত পড়া শুরু করে। এতে তাদের অনেক সুবিধা হয়। কারণ ভেক্টরের যোগ বিয়োগ গুণ ভাগের নিয়ম ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত থেকে ধার করা।

প্রথমে আমরা স্কেলার দিয়ে ভেক্টরকে গুণ করা শিখব। ভিডিওতে সময় বাঁচানোর জন্য সব ভেক্টর টু ডাইমেনশনাল নেয়া হয়েছে। অর্থাৎ এরা সবাই [latex]\mathbb{C}^2[/latex] এর সদস্য। নিচে আমরা এরকম একটি পিচ্চি কমপ্লেক্স ভেক্টর কে ২ দিয়ে গুণ করব।

[latex]2\times \begin{pmatrix}i \\ -i\end{pmatrix}=?[/latex]

 

[latex]2\times \begin{pmatrix}i \\ -i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2i \\ -2i\end{pmatrix}[/latex]

তো এর মানেটা কি? এর মানে হল কোন একটি ভেক্টরকে যদি আপনি একটি স্কেলার সংখ্যা দিয়ে গুণ করেন এর মান বাড়ে কিন্তু ওরিয়েন্টেশন বা দিক বাড়ে না। যেমন আপনি ঢাকা থেকে দিনাজপুর যাচ্ছেন। আপনার গতির মান যে সংখ্যা সেটি আর আপনার চলার দিক এই দুই মিলে হল আপনার বেগের  ভেক্টর। এখন বাস ড্রাইভার যখন অ্যাক্সিলেটরে চাপ দিল তখন আপনার গতি বেড়ে গেল কিন্তু যাওয়ার দিক একই থাকল। এর মানে ড্রাইভার একটি স্কেলার রাশি দিয়ে আপনার ভেক্টরকে গুণ করে দিয়েছে। অন্য কোন এক সময় ধরুণ কোন এক মোড়ে ড্রাইভার একটু ধীরগতিতে ডান দিকে ঘুরল। তখন আপনার গতি আর দিক দুটোই পরিবর্তিত হয়েছে। এর মানে হল আপনার ভেক্টরের উপর ড্রাইভার আরেকটি ভেক্টর চাপিয়ে দিয়েছে।  আরেকটি ভেক্টরটি কি? ড্রাইভার যে স্টিয়ারিং হুইল ঘুরালো সেটি কোন দিকে ঘুরালো সেটি হল আরেকটি ভেক্টরের দিক। আর ব্রেক চেপে ধরা মানে আরেকটি ভেক্টর আপনার ভেক্টরের মান থেকে কিছু একটা বিয়োগ করছে।

চলুন এবার একই ভেক্টর কে কাল্পনিক সংখ‌্যা i দিয়ে গুণ করি।

[latex]i\times \begin{pmatrix}i \\ -i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}[/latex]

আবারও বাড়ির কাজ, হি হি!

নিজেদের পছন্দ মত কোন একটি থ্রি ডাইমেনশনাল ভেক্টর নিন অর্থাৎ যেটি [latex]\mathbb{C}^3[/latex] এর সদস্য।  এখন এটিকে আপনার পছন্দমত একটি জটিল সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন। কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেসের পাঠবইগুলোতে যে আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আছে তাতে তিনটি বৈশিষ্ট্য আছে – যোগ ও গুণ সংক্রান্ত। এগুলো যেকোন বই বা উইকিপিডিয়াতে পাওয়া যাবে।

কমপ্লেক্স ভেক্টর স্পেসের সদস্যদের উপর যেসব অপারেশন চালানো যায় সেগুলো এখন একে একে শিখব। প্রথমে শিখব কি করে ট্রান্সপোজ (Transpose) করতে হয়। এটি মূলত ম্যাট্রিক্স অ্যালজেবরা থেকে এসেছে। যেহেতু ভেক্টর এক ধরণের ম্যাট্রিক্স কাজেই একইভাবে কাজ করে।  একটি বাস্তব সংখ্যার ম্যাট্রিক্স নেই।

[latex]\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}[/latex]

এটিকে ট্রান্সপোজ করা মানে রো (আনুভূমিক সারি) কে কলাম আর কলাম কে রো করে দেয়া। আর এই অপারেশনের চিহ্ন হিসেবে ম্যাট্রিক্স বা ভেক্টরের উপরের দিকে ডান কোণায় T লিখতে হয়। তাহলে ব্যাপারটি কেমন হবে?

[latex]\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}[/latex]

তাহলে চিকনচাকন ম্যাট্রিক্স মানে ভেক্টরের ক্ষেত্রে কি হবে?

[latex]\begin{pmatrix}1\\2i\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&2i\end{pmatrix}[/latex]

ট্রান্সপোজ করার পর যা পাচ্ছি তাকে আবার ট্রান্সপোজ করলে কি হবে? শুরুর ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সে ফেরত যাব। তার মানে পর পর দুই বার ট্রান্সপোজ করা আর আইডেনটিটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করা একই কথা।

আমরা আগে কমপ্লেক্স নাম্বারের কনজুগেট পড়েছি তাই না? সেরকম কিন্তু কমপ্লেক্স ভেক্টরেরও কনজুগেট হয়। [latex]\begin{pmatrix}1\\2i\end{pmatrix}[/latex] এর কনজুগেট হল [latex]\bar{\begin{pmatrix}1\\2i\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}1\\-2i\end{pmatrix}[/latex]

আমাদের এই কোর্সের সবচেয়ে জনপ্রিয় অপারেশন গুলোর একটি হল এডজয়েন্ট (Adjoint) – এটা আর কিছুই না একসাথে কনজুগেট আর ট্রান্সপোজ অপারেশন।

একটি ম্যাট্রিক্স দেখি। এটি খুব জনপ্রিয় কিন্তু আমি এখনই নাম বলব না।

[latex]\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}[/latex]

এর উপরে এখন এডজয়েন্ট অপারেশনের চিহ্ন বসাই। এই চিহ্নের নাম ড্যাগার ([latex]\dagger[/latex])।

[latex]\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}^\dagger=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}[/latex]

এখন বাড়ির কাজ।

আপনি উইকিপিডিয়াতে বা গুগলে পাউলির ম্যাট্রিক্স লিখে সার্চ দিলে তিনটি ম্যাট্রিক্স পাবেন। এদের নাম হল [latex]\sigma_x , \sigma_y , \sigma_z[/latex]।

আপনার কাজ হল এদের উপর এডজয়েন্ট অপারেশন চালানো।

এ সপ্তাহের গান:

Comments

comments

About the author

ওমর শেহাব

Leave a Reply